高一寒假作业遇见的几道数学题,请帮忙解决!
1.已知圆C:x²+y²-2x+4y-4=0,是否存在斜率位1的直线m,使以m被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出直线m的方程;若不存在,说明理由。
2.已知圆C:x²+(y-1)²=5,直线l:mx-y+1-m=0
求(1)求证m∈R,直线l与圆C总有两个不同交点;
(2)设与圆C交与不同的两个点AB,若|AB|=根号17,求l的倾斜角;
(3)求弦AB的中点M的轨迹方程
高一寒假作业遇见的几道数学题,请帮忙解决! 1.已知圆C:x²+y²-2x+4y-4+0,是否存在斜率位1的直
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解决时间 2021-02-20 08:07
- 提问者网友:沉默的哀伤
- 2021-02-19 21:04
最佳答案
- 五星知识达人网友:持酒劝斜阳
- 2021-02-19 22:08
1.已知圆C:x²+y²-2x+4y-4=0是否存在斜率位1的直线m,使以m被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出直线m的方程;若不存在,说明理由。
解:设直线m的方程为x=y+b.................(1)
代入园C的方程:(y+b)²+y²-2(y+b)+4y-4=0
化简得2y²+2(b+1)y+b²-2b-4=0..............(2)
设交点A(x₁,y₁); B (x₂,y₂).y₁,y₂是方程(2)的根,故:
y₁+y₂=-(b+1)
y₁y₂=(b²-2b-4)/2
x₁+x₂=y₁+b+y₂+b=(y₁+y₂)+2b=-(b+1)+2b=b+1
x₁x₂=(y₁+b)(y₂+b)=y₁y₂+b(y₁+y₂)+b²=(b²-2b-4)/2-b(b+1)+b²=(b²-4b-4)/2
弦长│AB│=√ [(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²]=√[(x₁+x₂)²+(y₁+y₂)²-4(x₁x₂+y₁y₂)]
=√{[b+1)²+(b+1)²-4[(b²-4b-4)/2+(b²-2b-4)/2]}
=√(-2b²+16b+18)
设弦AB中点的坐标为(m,n),则m=(x₁+x₂)/2=(b+1)/2, n=(y₁+y₂)/2=-(b+1)/2.
AB中点(m,n)到原点的距离d=√[(b+1)²/2]=│AB│/2=(1/2)√(-2b²+16b+18)
故有(b+1)²/2=(1/4)(-2b²+16b+18)
化简得 b²-3b-4=(b-4)(b+1)=0,故b=4或-1.
于是得直线m的方程为:x=y+4, 或x=y-1,即
y-x+4=0或y-x-1=0为所求。
2.已知圆C:x²+(y-1)²=5,直线l:mx-y+1-m=0
求(1)求证m∈R,直线l与圆C总有两个不同交点;
(2)设与圆C交与不同的两个点AB,若|AB|=根号17,求l的倾斜角;
(3)求弦AB的中点M的轨迹方程
解:(1)园心C(0,1)到直线L的距离d=│0-1+1-m│/√(m²+1)=│m│/√(m²+1)<1
即0<d<1<√5(=半径)对任何m都成立,故直线L与园总有两个交点。
(2)。将直线方程y=mx+1-m代入园的方程并化简得:
(1+m²)x²-2m²x+m²-5=0................(1)
设交点A(x₁y₁);B(x₂,y₂), x₁,x₂是方程(1)的根,故:
x₁+x=2m²/(1+m²)
x₁x₂=(m²-5)/(1+m²)
y₁+y₂=(mx₁+1-m)+(mx₂+1-m)=m(x₁+x₂)-2m+2=2m³/(1+m²)-2m+2=(m-1)²/(1+m²)
y₁y₂=(mx₁+1-m)(mx₂+1-m)=m²(x₁x₂)+m(1-m)(x₁+x₂)+(1-m)²
=m²(m²-5)/(1+m²)+2m³(1-m)/(1+m²)+(1-m)²=(1-3m)(1+m)/(1+m²)
│AB│=√[(x₁+x₂)²+(y₁+y₂)²-4(x₁x₂+y₁y₂)](代入上面的结果)=√17
由此解出m,这个m就是直线L的斜率。
(3)设弦AB中点的坐标为(x,y),那么
x=(x₁+x₂)/2=m²/(1+m²)
y=(y₁+y₂)/2=(m-1)²/2(1+m²)
两式联立消去参变量m,即得AB中点的轨迹方程。
解:设直线m的方程为x=y+b.................(1)
代入园C的方程:(y+b)²+y²-2(y+b)+4y-4=0
化简得2y²+2(b+1)y+b²-2b-4=0..............(2)
设交点A(x₁,y₁); B (x₂,y₂).y₁,y₂是方程(2)的根,故:
y₁+y₂=-(b+1)
y₁y₂=(b²-2b-4)/2
x₁+x₂=y₁+b+y₂+b=(y₁+y₂)+2b=-(b+1)+2b=b+1
x₁x₂=(y₁+b)(y₂+b)=y₁y₂+b(y₁+y₂)+b²=(b²-2b-4)/2-b(b+1)+b²=(b²-4b-4)/2
弦长│AB│=√ [(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²]=√[(x₁+x₂)²+(y₁+y₂)²-4(x₁x₂+y₁y₂)]
=√{[b+1)²+(b+1)²-4[(b²-4b-4)/2+(b²-2b-4)/2]}
=√(-2b²+16b+18)
设弦AB中点的坐标为(m,n),则m=(x₁+x₂)/2=(b+1)/2, n=(y₁+y₂)/2=-(b+1)/2.
AB中点(m,n)到原点的距离d=√[(b+1)²/2]=│AB│/2=(1/2)√(-2b²+16b+18)
故有(b+1)²/2=(1/4)(-2b²+16b+18)
化简得 b²-3b-4=(b-4)(b+1)=0,故b=4或-1.
于是得直线m的方程为:x=y+4, 或x=y-1,即
y-x+4=0或y-x-1=0为所求。
2.已知圆C:x²+(y-1)²=5,直线l:mx-y+1-m=0
求(1)求证m∈R,直线l与圆C总有两个不同交点;
(2)设与圆C交与不同的两个点AB,若|AB|=根号17,求l的倾斜角;
(3)求弦AB的中点M的轨迹方程
解:(1)园心C(0,1)到直线L的距离d=│0-1+1-m│/√(m²+1)=│m│/√(m²+1)<1
即0<d<1<√5(=半径)对任何m都成立,故直线L与园总有两个交点。
(2)。将直线方程y=mx+1-m代入园的方程并化简得:
(1+m²)x²-2m²x+m²-5=0................(1)
设交点A(x₁y₁);B(x₂,y₂), x₁,x₂是方程(1)的根,故:
x₁+x=2m²/(1+m²)
x₁x₂=(m²-5)/(1+m²)
y₁+y₂=(mx₁+1-m)+(mx₂+1-m)=m(x₁+x₂)-2m+2=2m³/(1+m²)-2m+2=(m-1)²/(1+m²)
y₁y₂=(mx₁+1-m)(mx₂+1-m)=m²(x₁x₂)+m(1-m)(x₁+x₂)+(1-m)²
=m²(m²-5)/(1+m²)+2m³(1-m)/(1+m²)+(1-m)²=(1-3m)(1+m)/(1+m²)
│AB│=√[(x₁+x₂)²+(y₁+y₂)²-4(x₁x₂+y₁y₂)](代入上面的结果)=√17
由此解出m,这个m就是直线L的斜率。
(3)设弦AB中点的坐标为(x,y),那么
x=(x₁+x₂)/2=m²/(1+m²)
y=(y₁+y₂)/2=(m-1)²/2(1+m²)
两式联立消去参变量m,即得AB中点的轨迹方程。
全部回答
- 1楼网友:孤独的牧羊人
- 2021-02-20 02:17
若斜率为一则tana=45度
x2+y2-2x+4y-4=0
(x-1)2+(y+2)2=9
圆心为(1,-2)
设y-y0=k(x-x0)
若k=1则
y+2=x-1
y=x-3
我觉得应该是这样做的,不知道对不对
- 2楼网友:杯酒困英雄
- 2021-02-20 01:27
x²+y²-2x+4y-4+0?此为何物?。。。是不是x²+y²-2x+4y-4=0
- 3楼网友:胯下狙击手
- 2021-02-20 01:14
1、设m方程为y=x+b,带入圆的方程后解出x的值,有两个,进而可以求出直线和方程的交点A、B,写出圆的方程,利用过(0,0)点求m
2、联立圆和直线方程,写出关于x的式子,b2-4ac>0,即证总有两个交点
设倾斜角为a则tana=m,
联立求出m,所得方程即轨迹方程
- 4楼网友:零点过十分
- 2021-02-19 23:56
设A(x1,y1)B(x2,y2)
l:m(x-1)+1
x1^2+(y1-1)^2=5
x2^2+(y2-1)^2=5
所以(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2-2)(y1-y2)=0
设M(x,y)
则2x=x1+x2,2y=y1+y2
所以2x=(2y-2)m=0
又m=(y-1)/(x-1)
2x=(2y-2)(y-1)/(x-1)
整理得x^2+y^2-x-2y+1=0
作CD垂直AB于D
△CDP中PD^2=1-CD^2
△DCA中AD^2=5-CD^2
AD-3PD
所以PD=根号2/2
|-1+1-m|/根号(m^2+1)=根号2/2
m=正负1
y=x或y=2-x
- 5楼网友:空山清雨
- 2021-02-19 22:23
[(x^2+y^2)-(x-y)^2+2y(x-y)]/4y
=(2xy+2xy-2y^2)/4y
=(2x-y)/2
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