a,b,c∈R+ 求证c/(a+b)+a/(b+c)+b/(a+c)≥3/2
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解决时间 2021-03-22 13:53
- 提问者网友：龅牙恐龙妹
- 2021-03-21 15:02
a,b,c∈R+ 求证c/(a+b)+a/(b+c)+b/(a+c)≥3/2
最佳答案
- 五星知识达人网友：舊物识亽
- 2021-03-21 15:57
证明：c/(a+b)+a/(b+c)+b/(a+c) = (a+b+c)(1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(a+c)) - 3
=1/2 * (a+b + b+c + c+a)(1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(a+c)) - 3
(柯西不等式) ≥1/2 * (1 + 1 + 1)^2 -3 = 3/2
=1/2 * (a+b + b+c + c+a)(1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(a+c)) - 3
(柯西不等式) ≥1/2 * (1 + 1 + 1)^2 -3 = 3/2
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- 1楼网友：过活
- 2021-03-21 16:21
(b+c)/a+(a+c)/b+(a+b)/c=b/a+c/a+a/b+c/b+a/c+b/c=(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)
∵a/b+b/a>=2√(a/b×b/a)=2(取等a/b=b/a,即a=b)
a/c+c/a>=2√(a/c×c/a)=2(取等a/c=c/a,即a=c)
b/c+c/b>=2√(b/c×c/b)=2(取等b/c=c/b,即b=c)
∴(b+c)/a+(a+c)/b+(a+b)/c=(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(b/c+c/b)>=2+2+2=6
即(b+c)/a+(a+c)/b+(a+b)/c>=6
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