设S=﹛α1,α2,…αr﹜⊆T为线性无关组，证明：S为T的一个极大无关组

当且仅当任意一个β∈T都可以表示为S中向量的线性组合。

很容易的，先证必要性，取任意β∈T，β可经α1,α2,…αr线性表出，故α1,α2,…αrβ线性相关，由极大无关组定义可知s=（α1,α2,…αr）是T的一极大无关组。再证充分性，S为T的一个极大无关组，故仍然由极大无关组定义，任意β∈T，α1,α2,…αrβ线性相关，再由α1,α2,…αr线性无关，β可经α1,α2,…αr线性表出（由α1,α2,…αrβ线性相关，存在k1,k2…kr+1不全为0，使得k1α1+k2α2+,…krαr+kr+1β=0,若kr+1为0则k1α1+k2α2+,…krαr=0，其中k1,k2…kr不全为0，则α1,α2,…αr线性相关，矛盾，故kr+1不为0，此时β=k1α1+k2α2+,…krαr/(-kr+1),即β可经α1,α2,…αr线性表出）

你好！ 这是极大无关组的定义 你教材中怎么定义的? 如果对你有帮助，望采纳。