如图，正方形ABCD的边长为1,以CB为直径。在正方形内做半圆O，过A做半圆切线，切点为F，求DE:AE的值
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解决时间 2021-01-03 08:43
- 提问者网友：心如荒岛囚我终老
- 2021-01-02 21:43
如图，正方形ABCD的边长为1,以CB为直径。在正方形内做半圆O，过A做半圆切线，切点为F，求DE:AE的值
最佳答案
- 五星知识达人网友：走死在岁月里
- 2021-01-02 22:06
解：∵AB及AE是圆O的切线,OB,OC是半径
∴AE=AB=1,∠BAO=∠EAO，OB=OC=1/2*BC=1/2*1=1/2
又∠DAE=90度-∠BAE
=90度-2∠BAO
从而 cos∠DAE=cos(90度-2∠BAO)
=sin(2∠BAO)
在直角三角形ABO中，tan∠BAO=OB/AB=1/2/1=1/2
从而 sin(2∠BAO)=2tan∠BAO/(1+(tan∠BAO)^2)
=2*1/2/(1+1/4)
=1/(5/4)
=4/5
则 cos∠DAE=sin(2∠BAO)=4/5
在三角形DAE中，由余弦定理，得
DE^2=AD^2+AE^2-2*AD*AE*cos∠DAE
=1^2+1^2-2*1*1*4/5
=2-8/5
=2/5
则 DE=√2/√5 (√表示平方根）
∴DE:AE=√2/√5:1=√2:√5
∴AE=AB=1,∠BAO=∠EAO，OB=OC=1/2*BC=1/2*1=1/2
又∠DAE=90度-∠BAE
=90度-2∠BAO
从而 cos∠DAE=cos(90度-2∠BAO)
=sin(2∠BAO)
在直角三角形ABO中，tan∠BAO=OB/AB=1/2/1=1/2
从而 sin(2∠BAO)=2tan∠BAO/(1+(tan∠BAO)^2)
=2*1/2/(1+1/4)
=1/(5/4)
=4/5
则 cos∠DAE=sin(2∠BAO)=4/5
在三角形DAE中，由余弦定理，得
DE^2=AD^2+AE^2-2*AD*AE*cos∠DAE
=1^2+1^2-2*1*1*4/5
=2-8/5
=2/5
则 DE=√2/√5 (√表示平方根）
∴DE:AE=√2/√5:1=√2:√5
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