已知函数f（x）=kex-x2（其中k∈R，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）若k=-2，试判断函数f（x）在区间（0，+∞

已知函数f（x）=kex-x2（其中k∈R，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）若k=-2，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求k的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试证明0＜f（x1）＜1．

（Ⅰ）若k=-2，f（x）=-2ex-x2，则f'（x）=-2ex-2x，
当x∈（0，+∞）时，f′（copyx）=-2ex-2x＜0，
故函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．
（Ⅱ）函数f（x）有两个极值点x1，x2，则x1，x2是f′（x）=kex-2x=0的两个根，
即方程k＝
2x
ex 有两个根，设φ(x)＝
2x
ex ，则φ′(x)＝
2?2x
ex ，
当x＜0时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＜0；
当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＞0；
当x＞1时，φ′（x）＜0，函数φ（x）单调递减且φ（x）＞0．
要使k＝
2x
ex 有两个根，只需zhidao0＜k＜φ(1)＝
2
e ，
故实数k的取值范围是(0，
2
e )．
（Ⅲ）由（Ⅱ）的解法可知，函数f（x）的两个极值点x1，x2满足0＜x1＜1＜x2，
由f′(x1)＝kex1?2x1＝0，得k＝
2x1
ex1 ，
所以f(x1)＝kex1?
x 2
1
＝
2x1
ex1 ex1?
x 2
1
＝x1(2?x1)＝?
x 2
1
+2x1＝?(x1?1)2+1，
由于x1∈（0，1），故0＜?(x1?1)2+1＜1，
所以0＜f（x1）＜1．