证明 当(a,42)=1时，有168整除a^6 -1，求大神解答，刚开始学习数论，是个渣渣

证明 当(a,42)=1时，有168整除a^6 -1，求大神解答，刚开始学习数论，是个渣渣

令a=42k+1（k属于非零整数，k=0时一目了然不用证明），168分解成42*4。
　　则（a^6 -1）/168={（42k+1）^6-1}/42*4；
　　根据二项式展开公式把这个式子的左边分子展开很容易就能证明了。
　　（42k+1）^6-1展开后为：
　　42^6*k^6+6*42^5*k^5+15*42^4*k^4+20*42^3*k^3+15*42^2*k^2+6*42*k,

　　明显的此式的前四项每一项都可以被42*4整除（可以提取公因式）；

　　后两项15*42^2*k^2+6*42*k可以对k的奇偶性分开讨论，当k为偶数时可令k=2n，代入后也可以提出42*4的公因式；

　　当k为奇数时15*42^2*k^2+6*42*k=42*2*（15*21*k^2+3*k）；
　　此时只要讨论15*21*k^2+3*k是否能被2整除就可以了，
　　（两奇数的和必为偶数，奇数的乘积必为奇数，这两个论断很容易证明就不写了。）
　　因为k为奇数必有k^2为奇数，则15*21*k^2必为奇数，3*k亦为奇数；
　　而两奇数的和必为偶数所以15*21*k^2+3*k必能被2整除。

　　综上得证。

把168分解为3*7*8

然后验证
a^6 = 1 mod 3
a^6 = 1 mod 7
a^6 = 1 mod 8

前两者trivial，最后一个验证1,3,5,7即可

所以3 | a^6-1, 7 | a^6 - 1, 8 | a^6 - 1，而由3,7,8互素知3*7*8 = 168 | a^6 - 1。