什么是傅立叶变换？为什么要进行傅立叶变换？一些回忆

什么是傅立叶变换？为什么要进行傅立叶变换？一些回忆

今天的现代通信网课上讲到傅立叶变换，老师翻出了一些以前信号系统和通信原理课本里的概念和公式，突然感到既熟悉又陌生。也难怪，原本读研之前一直以为今后就会和这些东西说再见，而彻底地投入计算机和网络的世界中，以至于开学来苏州这边的时候，本科的教材一本都没带过来。如今突然再次用到，多少感慨涌入心头，又怀念起以前大二时盯着一本书的公式发呆的日子，呵呵。 毋庸置疑，信号与系统（Signals and Systems）这门课绝对是信息类专业的核心课程（没有之一。。。）有些同学可能会提通信原理，但是如果没有信号系统这门课作为支撑，那么通信原理就好像盖楼只用混凝土不用钢筋一样，空有内容，搭不起一个知识体系。而傅立叶变换自然就是其核心内容了。 由于手头没有书，这里只是凭借记忆和网上搜到的内容，写下我对傅立叶变换的一些学习体会，具体的内容以后还会陆续补充。希望能给没有学习过信号系统这门课的同学一些小小的帮助。（其实我也搞不懂现代通信网这门课怎么给这老师讲成了通信原理，所以写这些东西，主要是方便大家加深对这些概念的理解吧。。。） 记得当年的任课老师有一句口头禅：信号系统改变了我们的世界观。。。当然这有些夸张，但是从某些角度来说，并非毫无道理。我们平常接触的世界是一个可感知的世界，很多事物都可以由包含时间这一维度的某个函数来表示。如股票价格的涨跌，就是一个普通的函数f(t),其中t表示时间。同理，声音也可以用这个函数反映出其强度随时间的变化；另外，在离散信号中，如一幅图像，是一个二维信号f(x,y)，这里的自变量x,y类似于上文的t，只不过由一维扩展到二维，由一个连续的时间变成了一串离散的序列。总而言之，现实世界中我们直观上看到信号，都可以称为“时域”信号。 信号系统这门课的贡献就是，它为我们展现了一种新的观察世界的角度，即“频域”。频域的度量称为频谱，频谱的横坐标为频率w(对应于上文的t),纵坐标就是频谱值。那么怎样实现从时域到频域的变换？大名鼎鼎的傅立叶变换(Fourier Transform)就是一种方法。 傅立叶变换公式如下：（*） 其中，w为频率，函数F(w)为频谱。傅立叶变换建立了从时域到频域的映射。 这里暂时不详细介绍公式，先看它的由来。 傅立叶，法国人，数学家，物理学家。1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数傅立叶级数（即三角级数)、傅立叶分析等理论均由此创始。 在分析傅立叶变换之前，先引出复信号的概念。大家都知道复数包括实数和虚数，一个复数总可以表示成x=a+bj(j为虚单位)。同理，信号也分实虚，实信号即是平常看得见摸得着的信号，引入虚的概念后，就可以将复信号解释清楚了。 回到刚才的问题，实际上傅立叶变换建立的是“复”频域与时域的联系。上文说过，傅立叶发现任何一个函数f(t)都可以用很多个三角函数的和（**） 表示，其中w是三角函数的角频率。另外，这个表示方法是一定的，即总能找到，并且能严格逼近。 为什么说傅立叶变换建立了复频域和时域的联系？频域有和上面的三角函数又有什么联系？难道只是因为cos(wt)中的w名字叫做频率吗？显然不是。 根据欧拉公式，其中，w是角频率，j是虚数单位。 带入上文公式（**），于是傅立叶的这个发现就可以解释通了：任何一个时域的函数f(t),都可以表示成很多个复指数 、的和的形式，w恰好就是频谱中的频率。这样，傅立叶变换便建立了时域和复频域的联系。 将coswt和sinwt的公式带入傅立叶变换的定义式（*），即可得到cos(Wt)的频谱为F(w)=pi*[sigma(w-W)+sigma(w+W)];即是频谱两边对称的两个冲击信号。 这也是为什么原信号乘以正弦信号之后就可以被调制成高频信号。 上文（*）公式给出的傅立叶变换是连续时间傅立叶变换，而严格意义上的傅立叶变换分为几种形式（CFS,CTFT,DFS,DTFT），每一种对应的情况都不相同，公式也不一样，这里不再一一介绍。
再说说为什么要进行傅立叶变换。举个例子，比如压缩电影、压缩照片，利用的就是人眼对某些频带以外的信号频谱反应不敏感的原理。将数据进行傅立叶变换，用滤波器过滤掉相对来说对人眼无用的高频和低频部分，就可以保证在不影响整体效果的情况下，最大程度地压缩图像数据。 不难想象，如果在时域上裁剪出这些数据的一部分，那数据的完整性将根本无法保证，比如将照片减去一半或是将影片头尾剪辑掉之类。然而在频域上的裁剪却可以大体上保证数据的质量，这正是频域的奇妙之处，它给我们提供了从另一个角度看世界的方法。