急！高中解三角形的数学题目！感谢！

1.在△ABC中，AB=√3,∠ACB=60º,求AC+BC的最大值。

2.如图，在扇形AOB中，∠AOB=120º,点C在弧AB上，若→OC=x→OA+y→OB,其中x,y∈R,求x+y的最大值。

3.如图，在边长为a的正△ABC中，O点是△ABC的中点，过点O的直线与线段AB，AC分别相交于M，N两点，求1/AM+1/AN的值。

 

答案

10√3

2

3/a

1题解：用余弦定理得 AB^2= AC^2+BC^2-2*AC*BCcos∠ACB把AB=√3,∠ACB=60º代入得AC^2+BC^2-AC*BC=3(AC+BC)^2-3AC*BC=3(AC+BC)^2=3AC*BC+3=3(AC*BC+1）≤3(AC+BC)^2/4+3=>(AC+BC)^2≤12AC+BC≤2√3

AC+BC的最大值2√3，当AC=BC时取得

2题

解：利用余弦定理可得：cos60°=(x^2+y^2-1)/2xy；

化简得：xy=[(x+y)^2-1]/3

因为此题中x,y只可能为正数，所以有x+y>=2√xy（当且仅当x=y时取等号）

变型得：(x+y)^2>=4xy=4/3[(x+y)^2-1]

化简得：（x+y）^2<=4（当且仅当x=y时取等号）

所以，当x=y=1,即∠COA=60°时x+y可以取得最大值为2

3.题

解：由正弦定理可知：

在三角形AON中A0/SIN∠ANO=AN/SIN∠AON

=>AN=(A0/SIN∠ANO)* SIN∠AON

=>1/AN= SIN∠ANO/( A0* SIN∠AON)

在三角形AOM中，A0/SIN∠AMO=AM/SIN∠AOM

=>AM=(A0/SIN∠AMO)* SIN∠AOM

=>1/AM= SIN∠AMO/( A0* SIN∠AOM)

 所以1/AM+1/AN= SIN∠AMO/( A0* SIN∠AOM)+ SIN∠ANO/( A0* SIN∠AON)

又因为∠AON=180°-∠AMO 所以 SIN∠AOM= SIN∠AON

所以1/AM+1/AN=( SIN∠AMO+ SIN∠ANO)/ (A0* SIN∠AON)   （1）

因为SIN∠AMO+ SIN∠ANO=2SIN[（∠AMO+∠ANO）/2]SIN[（∠AMO-∠ANO）/2]   (2)

由于O点是等边△ABC的中点（应该是重心吧），边长为a 可知

 A0=√3a/3，∠BAC=60°, ∠OAN=30°

∠AMO+∠ANO=180°-60°=120° （3）

∠AMO-∠ANO=120°-∠ANO-∠ANO=120°-2∠ANO

又因为∠ANO=180°-∠OAN-∠AON=150°-∠AON

所以∠AMO-∠ANO=-180°-2∠AON   (4)

把(3),(4)代入(2)代简得

SIN∠AMO+ SIN∠ANO=2*√3/2* SIN∠AON  (5)

把（5）与A0=√3a/3代入 （1）得

1/AM+1/AN=（2*√3/2* SIN∠AON ）/(√3a* SIN∠AON /30=3/a

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