如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，O、O1、O2分别是△ABC，△ACD、△BCD的角

如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，O、O1、O2分别是△ABC，△ACD、△BCD的角

如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，O、O1、O2分别是△ABC，△ACD、△BCD的角平分线的交点，求证：（1）O1O⊥CO2；（2）OC=O1O2．(图2) （1）∵∠A=∠DCB，∴∠EAC=∠O2CB，∴∠EAC+∠ACE=∠O2CB+∠ACE=90°，即∠AEC=90°，∴O1O⊥CO2；（2）连接AO1并延长交CD于点E，连接CO1，BO2并延长交CO1于点F，∵点O1O2分别在∠ACD和∠DCB的平分线上，∴∠O1CO2=45°，由（1）∠O1EC=90°，∴CE=O1E，同理可证O2F⊥CF，∠OO2E=45°，O2E=EO，∠CEO=∠O2EO1，∴△CEO≌△O1EO2，∴CO=O1O2．