已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a3=6，且a1，a2，a4成等比数列，数列{bn}满足bn+1=2bn+1，n∈N*，且

已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a3=6，且a1，a2，a4成等比数列，数列{bn}满足bn+1=2bn+1，n∈N*，且b1=3（1）求数列{an}和{bn}的通项公式（2）设数列{cn}的前n项和为Sn，且cn=1an?log2(bn+1)，证明：Sn＜12．

解答：（1）解：设公差为d≠0，
∵a3=6，且a1，a2，a4成等比数列，
∴a1+2d=6，且（a1+d）2=a1?（a1+3d），
解得a1=2，d=2．
∴数列{an}的通项公式为an=2+（n-1）×2=2n；
∵bn+1=2bn+1，
∴bn+1+1=2（bn+1），
∵b1=3，
∴数列{bn+1}是以4为首项，2为公比的等比数列，
∴bn+1=2n+1，
∴bn=2n+1-1；
（2）证明：cn=
1
an?log2(bn+1) =
1
2n(n+1) =
1
2 （
1
n -
1
n+1 ），
∴Sn=
1
2 （1-
1
2 +
1
2 -
1
3 +…+
1
n -
1
n+1 ）=
1
2 （1-
1
n+1 ）＜
1
2 ，
∴Sn＜
1
2 ．

（本小题满分12分） 解：（1）依题意得 a1＝1 a22＝a1a5 ，即（1+d）2=1?（1+4d）， 解得d=2，或d=0，不合要求，舍去． ∴an=1+2（n-1）=2n-1． 在数列{bn}中，由bn+1=2bn-1， 得bn+1-1=2（bn-1）， 即数列{bn-1}是首项为b1-1=2，公比为2的等比数列． 得bn?1＝2?2n?1=2n． 即bn＝2n+1．…（6分） （2）由（1）得an?(bn?1)＝(2n?1)?2n， ∴tn=1?2+3?22+5?23+…+（2n-3）?2n-1+（2n-1）?2n， 2tn=1?22+3?23+5?24+…+（2n-3）?2n+（2n-1）?2n+1， 相减得-tn=2+2（22+23+…+2n-1+2n）-（2n-1）?2n+1 =-2+2（2+22+23+…+2n-1+2n）-（2n-1）?2n+1 =-2+2? 2(1?2n) 1?2 -（2n-1）?2n+1 =-2+2n+2-4-（2n-1）?2n+1， 整理得tn＝6+(2n?3)?2n+1．…（12分）