如图,在△ABC中,角C=2角A,BD平分角ABC交AC于D，求证：AB=CD+BC（用两种方法）

如图,在△ABC中,角C=2角A,BD平分角ABC交AC于D，求证：AB=CD+BC（用两种方法）

延长BC至E，使CE=CD
连DE
则∠E=∠CDE，∠BCD=2∠E.
又∠BCD=2∠A
∴∠E=∠A
又∠EBD=∠ABD，BD=BD
∴△EBD≌△ABD(AAS)
∴AB=BE=CE+BC=CD+BC
方法2
在AB边做BE=BC，连接DE，角EBD=角CBD，BD=BD，所以三角形EBD与三角形CBD全等，所以ED=CD，角BED=角C，有因为角A+角ADE=角BED=角c，角C=2角A，所以角ADE=角A，DE=AE，因为AB=AE+BE所以AB=CD+BC

在bc上取点e,使ce=cd 三角形ced是等腰三角形 ∠c=(180-108)/2=36 ∠dec=(180-36)/2=72 ∠deb=180-72=108 所以 ∠deb=∠a 在三角形deb和dea中 ∠deb=∠a ∠dbe=∠dba(因为bd是角平分线) bd=bd(公共边) 根据角角边定理 △deb≌△dab 对应边相等,则 be=ba 因此 bc=be ec=ba cd 命题得证

在AB上取一点E， 使BE=BC， 依题意，有：ΔCBD ≌ Δ EBD =》ED=CD， ∠C=∠BED 因为 ∠BED = ∠A+∠ADE，∠C=2∠A =》∠A =∠ADE =》AE = DE, 于是 AE = CD =》 AB = BE+AE = BC + CD