设Xn>0,且 lim(X(n+1)/Xn)=A 证明 limXn的n次根号=A

设Xn>0,且 lim(X(n+1)/Xn)=A 证明 limXn的n次根号=A

该题可以这样证明
期间文字诸多表达不变LZ慢慢看
所求证的式子用S表示 每一项x(n+1)/xn用yn表示 并且令x1=y1 可以看出yn的极限为A
S=lim(y1*y2*y3……y(n-1))^(1/n)

=lim e^[(1/n)(lny1+lny2+lny3+……+lny(n-1)]
= e^[lim(1/n)(lny1+lny2+lny3+……+lny(n-1)]
由于yn的极限为A 那么1/n（lny1+lny2+……+lnyn) 的极限就是lim(lnyn)=lnA (该步骤看不懂看参见下面的引理）
所以A=e^lnA=A

引理：
如果数列zn的极限为A 那么lim (1/n)(z1+z2+……+zn)=A
该引理的证明可以用到极限语言证明
任给c>0 存在m 使得 n>m时 所有的zn∈(A-c A+c)
那么(1/n)（z1+z2+z3+……+zn)=(1/n)(z1+z2+……+zm) + (1/n)(zm+1 + zm+2 +……+zn)
→0+A

lim(X(n+1)/Xn)=A
lim(Xn)/X(n-1)=A
....
limXn/X1=A^n
(limXn)^(1/n)=A