x→∞,求极限[∫arctan(t)dt]/sin(x),其中,分子上面的积分限为[0,x]

x→∞,求极限[∫arctan(t)dt]/sin(x),其中,分子上面的积分限为[0,x]

∫arctan(t)dt=tarctant-∫td(arctant)=tarctant-∫t/(1+t^2)dt
=tarctant-∫t/(1+t^2)dt=tarctant-(1/2)×∫d(1+t^2)/(1+t^2)=tarctant-(1/2)ln(1+t^2)
(0,x)∫arctan(t)dt=(0,x)[tarctant-(1/2)ln(1+t^2)]=xarctanx-(1/2)ln(1+x^2)
故极限为lim [xarctanx-(1/2)ln(1+x^2)]/sinx
又lim [xarctanx-(1/2)ln(1+x^2)]=xarctanx[1-(1/2)ln(1+x^2)/(xarctanx)]
又lim ln(1+x^2)/(xarctanx)]=lim[2x/(1+x^2)]/[arctanx+x/(1+x^2)]
=lim 2x/[(x^2+1)arctanx+x]=lim 2/(2xarctanx+2)=0
所以lim [xarctanx-(1/2)ln(1+x^2)]/sinx
=lim xarctanx/sinx
x→+∞,原式=lim x(π/2)/sinx,sinx不定,故极限不存在
因而极限不存在,你检查一下是不是题抄错了.
应该是x→0吧?否则不可能有极限的.
附上x→0
洛必达法则
lim (∫arctantdt]/sinx)=lim arctanx/cosx=0