一道不等式证明
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解决时间 2021-03-26 23:01
- 提问者网友：川水往事
- 2021-03-26 16:12
一道不等式证明
最佳答案
- 五星知识达人网友：痴妹与他
- 2021-03-26 17:13
构造函数f(x)=㏑(tan²x-1)
当x∈(0，π)时，易得f′′(x)<0(求导过程略)，
即f(x)为上凸函数.故A+B+C=π时，
依Jensen不等式得
f(A)+f(B)+f(C)≤3f[(A+B+C)/3]=3f(π/3)，
∴㏑(tan²A-1)+㏑(tan²B-1)+㏑(tan²C-1)
≤3㏑[tan²(π/3)-1]
=3㏑[(√3)²-1]
=3㏑2
=㏑2³
=㏑8.
∴㏑[(tan²A-1)(tan²B-1)(tan²C)]≤㏑8，
即(tan²A-1)(tan²B-1)(tan²C-1)≤8。
当x∈(0，π)时，易得f′′(x)<0(求导过程略)，
即f(x)为上凸函数.故A+B+C=π时，
依Jensen不等式得
f(A)+f(B)+f(C)≤3f[(A+B+C)/3]=3f(π/3)，
∴㏑(tan²A-1)+㏑(tan²B-1)+㏑(tan²C-1)
≤3㏑[tan²(π/3)-1]
=3㏑[(√3)²-1]
=3㏑2
=㏑2³
=㏑8.
∴㏑[(tan²A-1)(tan²B-1)(tan²C)]≤㏑8，
即(tan²A-1)(tan²B-1)(tan²C-1)≤8。
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- 1楼网友：动情书生
- 2021-03-26 17:37
错啦！tan²A－1可以小于零的啊！另外两个数，也可以小于零。还缺少分类讨论的过程。追答这道题貌似简单的均值不等式＋讨论就可以了。小于零的数，不能做真数。
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