已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1．（1）当k=1时，求函数f（x）的最大值；（2）若函数f（x）没有零点

已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1．（1）当k=1时，求函数f（x）的最大值；（2）若函数f（x）没有零点，求实数k的取值范围．

（1）当k=1时，f（x）=ln（x-1）-（x-1）+1=ln（x-1）-x+2，f′(x)＝
2?x
x?1 ，
函数f（x）的定义域为（1，+∞），令f′（x）=0，求得x=2，
∵当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（1，2）内是增函数，在（2，+∞）上是减函数
∴当x=2时，f（x）取最大值f（2）=0．
（2）函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1没有零点，
即函数y=ln（x-1）的图象与函数y=k（x-1）-1的图象没有交点．
①当k≤0时，由于函数y=ln（x-1）图象与函数y=k（x-1）-1图象有公共点，
∴函数f（x）有零点，不合要求．
②当k＞0时，f′(x)＝
1
x?1 ?k＝
1+k?kx
x?1 ＝?
k(x?
1+k
k )
x?1 ，
令f′(x)＝0，得x＝
k+1
k ，∵x∈(1，
k+1
k )时，f′(x)＞0，x∈(1+
1
k ，+∞)时，f′(x)＜0，
∴f(x)在(1，1+
1
k )内是增函数，在[1+
1
k ，+∞)上是减函数，
∴f（x）的最大值是f(1+
1
k )＝?lnk，
∵函数f（x）没有零点，∴-lnk＜0，求得k＞1．
综上可得，实数k的取值范围为（1，+∞）．

t=x-1 lnt, kt-1没交点 现求其相切点的k值。 切点(t, lnt) 的斜率为1/t=k,且在直线kt-1上。 kt=1, lnt=kt-1=1-1=0 t=1, k=1 所以k>1