已知a,b∈R且a+b=1,求证(a+2)^2+(b+2)^2>=25/2

解答这道题

证明:(a+2)(b+2)=<(a+2+b+2)/4

(a+2)^2+(b+2)^2=(a+2+b+2)^2-2(a+2)(b+2)>=25-25/2=25/2

故原式得证。

题中要用到一个这样的定理：ab=<(a+b/2)^2

∵a+b=1

∴b=1-a

(a+2)^2+(b+2)^2

=(a+2)^2+(1-a+2)^2

=a^2+4a+4+a^2-6a+9

=2a^2-2a+13

=2(a-1/2)^2-1/4+13

=2(a-1/2)^2+51/4≥51/4>25/2

即证a^2十b^2十4（a十b）十4>=25/2.即证a^2十b^2>=1/2.即证a^2十（1-a）^2>=l/2.即证（a十1/2）^2>=0.而这显然成立，于是…得证

由柯西不等式得

((a+2)^2+(b+2)^2)*(1^2+1^2)>=((a+2)*1+(b+2)*1)^2=25

得证