多边形小问题

四边形ABCD中，∠B=90°，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1。

求证：DA⊥AC 求∠BAD的度数

∵∠B=90°

AB：BC：CD：DA=2：2：3：1

∴ AB= BC

∴ ∠BAC=45°

设DA=X

所以 AB=BC=2X AC=（2根号2）X CD=3X

∵ AC²+AD²=8X²+X²=9X²=CD²

所以 ∠DAC=90°

即 DA⊥AC

∠BAD = ∠DAC+∠BAC= 90°+45°=135°

证明：∵AB:BC:CD:DA=2:2:3:1

假设AD=1,那么AB=2,BC=2,CD=3。

∵∠B=90°

∴AC²=AB²+BC²=2²+2²=8 (勾股定理)

∵AD²+AC²=1²+8=9=AC²

∴∠DAC=90°(勾股定理逆定理)

∴DA⊥AC

又∵AB:BC:CD:DA=2:2:3:1

∴AB=BC

∴三角形ABC是等腰直角三角形

∴∠BAC=45°

∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°

因为∠B=90°，所以AB垂直BC，因为AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，所以AB：BC：CA=2：2：根号（2方+2方）=2：2：根8，则AC：DC：DA=根8：3：1，所以三角形ACD为直角三角形，所以DA垂直AC，为90度，因为AB=AC，∠B=90°，所以角BAC=（180度-90度）/2=45°，因为角BAC=45度，角DAC=90度，所以角BAD=角BAC+角DAC=90度+45度=135度

设AD上高交AD于E点，AD=AE+DE (1)

勾股定理AB²+BC²=AC² （2）

AC²-AE²=CE²=CD²-DE² （3） 将（1）、（2）式代入（3）中

AC²-AE²=CD²-DE²

AB²+BC² -(AD-DE)² =CD² -DE²

AB² +BC² -AD² +2ADXDE-DE² =CD² -DE²

2ADXDE=2AD²

AD=DE 即E点与A点重合，∠CAD=90°DA⊥AC