泰勒公式问题有两个问题.图中①那里的多项式,相乘为什么只取x^3的项,和x的幂小于3的项?（II）是求（1+x^2/2）

泰勒公式问题

有两个问题.
图中①那里的多项式,相乘为什么只取x^3的项,和x的幂小于3的项?
（II）是求（1+x^2/2）*cos x是x的几阶无穷小.想问,为什么cos x只写到5阶?为什么不再继续多写几阶?

1、Taylor展式展到几阶,都是需要看具体的题.
本题中,结论明确说是x^3的高阶无穷小,因此做Taylor展式时就要展到x^3项.
这个意思是指f(x)展到x^3项,具体到构成f(x)的每一个函数要展到多少阶,
就要看相乘的结果了.
比如e^x,它不与别的函数相乘,因此将e^x直接展到x^3项.
sinx与x相乘,因此sinx只需展到x^2项即可,高于x^2的项（即x^3,x^4..）
与x相乘后都是x^3的高阶无穷小了,不需要展了.
因此事实上本题sinx展的已经多了,不需要-x^3/6这一项.
即sinx=x+0x^2+o(x^2)已经足够了.
相乘后就是多项式的合并同类项了,当计算到x^3这一项的 系数不为0后,
我们已经就得到结果,f(x)是x^3的同阶无穷小,高于x^3的项都是高阶无穷小,
因此不需要计算了.
2、你写得问题不对吧.(1+x^2/2)*cosx不是无穷小,怎么谈写到多少阶?
再问： 问题2：完整问题：确定以下无穷小量当x→0时关于x的阶数（1+x^2/2）*cos x-1
再答： 2、将cosx的Taylor展式展开，要展到多少阶才可以呢？ 分析的话是没有什么要诀的，只能是尽量多展。 在展得过程中试探一下，看看要展到多少阶。 比如cosx＝1－x^2/2+o(x^2)，与前面的1+x^2/2相乘立即得到 1－x^4/4，有x^4这一项，因此cosx的Taylor展式至少要展到x^4项， x^4的项与1+x^2/2中的1的乘积还是x^4的项，这样的项就必须保留。 因此继续展，cosx＝1－x^2/2+x^4/4!+o(x^4)，与1+x^2/2相乘 后得到1－(1/4－1/4!)x^4+o(x^4)，x^4项的系数不是0，已经得到想要的结果。 因此这就是最终的结果，也就是展的过程慢慢试探。 不会试探的话就一开始将cosx尽量多展，然后做要求的运算，一直到得到 x^k的系数不为0为止。