解答题已知函数f（x）=x3-x2，x∈R．（Ⅰ）若正数m、n满足m?n＞1，证明：f

解答题 已知函数f（x）=x3-x2，x∈R．
（Ⅰ）若正数m、n满足m?n＞1，证明：f（m）、f（n）至少有一个不小于零；
（Ⅱ）若a、b为不相等的正数，且满足f（a）=f（b），求证：a+b＞1．

证明：（Ⅰ）假设f（m）、f（n）都不小于零，∴f（m）=m3-m＜0，f（n）=n3-n＜0，
∴m2（m-1）＜0，∴0＜m＜1，同理0＜n＜1，∴0＜mn＜1，这与mn＞1矛盾，
∴f（m）、f（n）至少有一个不小于零．
（Ⅱ）∵f（a）=a3-a=b3-b，∴a3-b3=a2-b2，∴（a-b）（a2+ab+b2）=（a-b）（a+b），
∴a2+ab+b2=a+b，∴（a+b）2-3ab=a+b，∴（a+b）2-（a+b）=3ab＞0，
∴（a+b）2-（a+b）＞0，解得 a+b＜0或a+b＞1，∵a、b为不相等的正数，∴a+b＞1．解析分析：（Ⅰ）证明：假设f（m）、f（n）都不小于零，可证得0＜m＜1，0＜n＜1，故有 0＜mn＜1，这与mn＞1矛盾．（Ⅱ） 由f（a）=f（b），可得∴（a+b）2-（a+b）=3ab＞0，由（a+b）2-（a+b）＞0，解得 a+b＜0或a+b＞1，根据a、b为不相等的正数，可得a+b＞1．点评：本题考查用反证法和放缩法证明数学命题，一元二次不等式的解法，得到∴（a+b）2-（a+b）=3ab＞0，是解题的关键．

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