杨辉三角的公式

求杨辉三角第N行 第M个数是什么 公式

同时 这也是多项式(a+b)^n 打开括号后的各个项的二次项系数的规律 即为

0 (a+b)^0 (0 nCr 0)

1 (a+b)^1 (1 nCr 0) (1 nCr 1)

2 (a+b)^2 (2 nCr 0) (2 nCr 1) (2 nCr 2)

3 (a+b)^3 (3 nCr 0) (3 nCr 1) (3 nCr 2) (3 nCr 3)

. ... ... ... ... ...

因此 杨辉三角第x层第y项直接就是 （y nCr x）

我们也不难得到 第x层的所有项的总和 为 2^(x-1) (即(a+b)^x中a,b都为1的时候)

[ 上述y^x 指 y的 x次方;(a nCr b) 指 组合数]

其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。

杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。

而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是叫你找规律。具体的用法我们会在教学内容中讲授。

在国外,这也叫做"帕斯卡三角形".
S1：这些数排列的形状像等腰三角形，两腰上的数都是1
S2：从右往左斜着看，第一列是1，1，1，1，1，1，1；第二列是，1，2，3，4，5，6；第三列是1，3，6，10，15；第四列是1，4，10，20；第五列是1，5，15；第六列是1，6……。
从左往右斜着看，第一列是1，1，1，1，1，1，1；第二列是1，2，3，4，5，6……和前面的看法一样。我发现这个数列是左右对称的。
S3：上面两个数之和就是下面的一行的数。
S4：这行数是第几行，就是第二个数加一。……
幻方，在我国也称纵横图，它的神奇特点吸引了无数人对它的痴迷。从我国古代的“河出图，洛出书，圣人则之”的传说起，系统研究幻方的第一人，当数我国古代数学家——杨辉。
杨辉，字谦光，钱塘(今杭州)人，我国南宋时期杰出的数学家，与秦九韶、李冶、朱世杰并称宋元四大数学家，他在我国古代数学史和数学教育史上占有十分重要的地位。
杨辉对幻方的研究源于一个小故事。当时杨辉是台州的地方官，一次外出巡游，碰到一孩童挡道，杨辉问明原因方知是一孩童在地I 做一道数学算题，杨辉一听来了兴趣，下轿来到孩童旁问是什么算题。原来，这个孩童在算一位老先生出的一道趣题：把1到9的数字分行排列，不论竖着加、横着加，还是斜着加，结果都等于15。
杨辉看到这个算题， 时想起来他在西汉学者戴德编纂的《大戴礼》一书中也
见过。杨辉想到这儿，和孩童一起算了起来，直到午后，两人终于将算式摆出来了。
后来，杨辉随孩童来到老先生家里，与老先生谈论起数学问题来。老先生说：“北周的甄弯注《数术记遗》一书中写过‘九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”’杨辉听了，这与自己与孩童摆出来的完全一样。便问老先生：“你可知这个九宫图是如何造出来的?”老先生说不知
道。
杨辉回到家中，反复琢磨。一天，他终于发现一条规律，并总结成四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。就是说：先把l～9九个数依次斜排，再把上l下9两数对调，左7右3两数对调，最后把四面的2、4、6、8向外面挺出，这样三阶幻方就填好了。
杨辉研究出三阶幻方(也叫络书或九宫图)的构造方法后，又系统的研究了四阶幻方至十阶幻方。在这几种幻方中，杨辉只给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明，四阶以上幻方，杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误，可见他已经掌握了高阶幻方的构成规律。
在信息领域杨辉三角也起着重要作用。

杨辉三角，也叫贾宪三角，在外国被称为帕斯卡三角。与我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律。 与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。 例如，在杨辉三角中，第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数， 即(a+b)^2;=a^2+2ab+b^2 第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数 即(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 以此类推。 又因为性质6：第n行的m个数可表示为c(n-1,m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)^n=c(n,0)a^n*b^0+c(n,1)a^(n-1)*b^1+...+c(n,r)a^(n-r)*b^r...+c(n,n)a^0*b^n 因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。 前提：端点的数为1. 1、每个数等于它上方两数之和。 2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。 3、第n行的数字有n项。 4、第n行数字和为2^(n-1)。 5、第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，即c(n-1,m-1)=c(n-1,n-m)，这是组合数性质 6、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。 7、第n行的m个数可表示为c(n-1,m-1)（n-1下标，m-1上标），即为从n-1个不同 杨辉三角的组合数表示元素中取m-1个元素的组合数。 帕斯卡三角形组合数计算方法：c(n,m)=n!/[m!(n-m)!] 8、(a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。 9、将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。 10、将各行数字相排列，可得11的n次方：1=11º 11=11¹ 121=11² 杨辉三角的第n行就是二项式展开式的系数列。 对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”。 结构特征：杨辉三角除斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和。 这些数排列的形状像等腰三角形，两腰上的数都是1。 从右往左斜着看,从左往右斜着看，和前面的看法一样，这个数列是左右对称的。 上面两个数之和就是下面的一行的数。 这行数是第几行，就是第二个数加一。