什么叫差分，差分方程是啥？

什么叫差分，差分方程是啥？

1、差分又名差分函数或差分运算，差分的结果反映了离散量之间的一种变化，是研究离散数学的一种工具。它将原函数f(x) 映射到f(x+a)-f(x+b) 。差分运算，相应于微分运算，是微积分中重要的一个概念。差分又分为前向差分、向后差分及中心差分三种。
2、差分方程（是一种递推地定义一个序列的方程式：序列的每一项目是定义为前一项的函数。某些简单定义的递推关系式可能会表现出非常复杂的（混沌的）性质，他们属于数学中的非线性分析领域。



扩展资料：
差分方程举例：
dy+y*dx=0,y(0)=1 是一个微分方程， x取值[0,1] 　（注：解为y(x)=e^(-x))；
要实现微分方程的离散化，可以把x的区间分割为许多小区间 [0,1/n],[1/n,2/n],...[(n-1）/n,1] 　
这样上述微分方程可以离散化为：y((k+1）/n)-y(k/n)+y(k/n)*（1/n)=0， k=0,1,2,...,n-1 （n 个离散方程组） 　
利用y(0)=1的条件，以及上面的差分方程，可以计算出 y(k/n) 的近似值了。
差分方程的性质
1、Δk(xn+yn)=Δkxn+Δkyn。
2、Δk(cxn)=cΔkxn。
3、Δkxn=∑（-1)jCjkXn+k-j。
4、数列的通项为n的无限次可导函数，对任意k>=1，存在η，有 Δkxn=f(k）（η）。
参考资料来源：搜狗百科-差分方程
参考资料来源：搜狗百科-差分

太高深不知道

差分方程-基本概念 一、差分的概念 设函数yt=f(t)在t=…，-2，-1，0，1，2，…处有定义,对应的函数值为…，y-2，y-1，y0，y1，y2，…，则函数yt=f(t)在时间t的一阶差分定义为 Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)。 依此定义类推，有 Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1)，Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2)，……………… 一阶差分的性质 (1) 若yt=C(C为常数)，则Dyt=0； (2) 对于任意常数k，D(kyt)=kDyt； (3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt。 函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分，即 D2yt= D (D yt)= D yt+1- D yt =(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt． 依此定义类推，有 D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1，D2yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2，……………… 类推，计算两个相继的二阶差分之差，便得到三阶差分 D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt， D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1， ……………… 二、 差分方程 含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt， D2yt，…的函数方程，称为常差分方程(简称差分方程)；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为 F(t，yt，Dyt，…， Dnyt)=0， 其中F是t，yt, Dyt，…， Dnyt的已知函数，且Dnyt一定要在方程中出现。 含有两个或两个以上函数值yt，yt+1，…的函数方程，称为(常)差分方程，出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为 F(t，yt，yt+1，…，yt+n)=0, 其中F为t，yt，yt+1，…，yt+n的已知函数，且yt和yt+n一定要在差分方程中出现。 三、 差分方程的解 如果将已知函数yt=j(t)代入方程F(t，yt，yt+1，…，yt+n)=0，使其对t=…，-2，-1，0，1，2，…成为恒等式，则称yt=j(t)为方程的解。含有n个任意(独立)常数C1，C2，…，Cn的解 yt=(t，C1，C2，…，Cn) 称为n阶差分方程的通解。在通解中给任意常数C1，C2，…，Cn以确定的值所得的解，称为n阶差分方程的特解。 差分方程-线性差分方程 形如 yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+…+an-1(t)yt＋1+an(t)yt=f(t) 的差分方程，称为n阶非齐次线性差分方程。其中a1(t)，a2(t)，…，an-1(t)，an(t)和f(t)都是t的已知函数，且an(t)≠0，f(t)≠0。而形如 yt+n+a1(t)yt+n-1+…＋an-1(t)yt+1+an(t)yt=0 的差分方程，称为n阶齐次线性差分方程。其中ai(t)(i=1，2，…，n)为t的已知函数，且an(t)≠0。 如果ai(t)=ai(i=1，2，…，n)均为常数(an≠0)，则有 yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=f(t)， yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0。 分别称为n阶常系数非齐次线性差分方程和n阶常系数齐次线性差分方程。 定理1(齐次线性差分方程解的叠加原理) 若y1(t)，y2(t)，…，ym(t)是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0的m个特解(m≥2)，则其线性组合y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Amym(t)也是方程 的解，其中A1，A2，…，Am为任意常数。 定理2 n阶齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0一定存在n个线性无关的特解。 定理3(齐次线性差分方程通解结构定理) 如果y1(t)，y2(t)，…，yn(t)是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0的n个线性无关的特解，则方程 的通解为： yA(t)＝A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)， 其中A1，A2，…，An为n个任意(独立)常数。 定理4(非齐次线性差分方程通解结构定理) 如果 (t)是非齐次线性方程yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2 +…+an-1(t)yt＋1+an(t)yt=f(t)的一个特解，yA(t)是其对应的齐次线性方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0的通解，那么，非齐次线性差分方程的通解为： y(t)=yA(t)+ (t) 即 y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)+ (t)， 这里A1，A2，…，An为n个任意(独立)常数。

差分方程是微分方程的离散化。一个微分方程不一定可以解出精确的解，把它变成差分方程，就可以求出近似的解来。 比如 dy+y*dx=0,y(0)=1 是一个微分方程， x取值[0,1] (注：解为y(x)=e^(-x)); 要实现微分方程的离散化，可以把x的区间分割为许多小区间 [0,1/n],[1/n,2/n],...[(n-1)/n,1] 这样上述微分方程可以离散化为： 差分方程 y((k+1)/n)-y(k/n)+y(k/n)*(1/n)=0， k=0,1,2,...,n-1 （n 个离散方程组） 利用y(0)=1的条件，以及上面的差分方程，就可以计算出 y(k/n) 的近似值了。