已知函数f（x）=log2（x+1），将y=f（x）的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横

已知函数f（x）=log₂（x+1），将y=f（x）的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数F（x）=f（x）-g（x）的最大值．

将函数f（x）=log₂（x+1）的图象向左平移1个单位，可得函数y=log₂（x+2）的图象，
再将图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=2log₂（x+2）的图象，
故函数g（x）=2log₂（x+2），且x＞-2．
函数y=F（x）=f（x）-g（x）=log₂（x+1）-2log₂（x+2）=log₂
x+1
(x+2)2，且x＞-1
令u（x）=
x+1
(x+2)2，x＞-1
令t=x+1，则u=
1
t+
1
t+2≤
1
4，当且仅当x=0时取等号．
故F（x）=log₂u，由于F（x）=log₂u 在（0，+∞）上是增函数，
故当x=0时，即u=
1
4时，函数y=F（x）=log₂u取得最大值为-3．