设σ是欧式空间V的一个线性变换,证明:如果σ是正交变换,那么σ保持任意两个向量的夹角不变，反之不然。
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解决时间 2021-04-06 18:04
- 提问者网友：情歌越听越心酸
- 2021-04-05 22:48
设σ是欧式空间V的一个线性变换,证明:如果σ是正交变换,那么σ保持任意两个向量的夹角不变，反之不然。
最佳答案
- 五星知识达人网友：神也偏爱
- 2021-04-05 23:32
正交变换满足 σ^Tσ是恒等映射。因此对任意的两个非零向量a，b，有
<σa，σb>==，即正交变换保持内积不变，因此
||a||^2=<σa，σa>=。长度不变。于是a与b的夹角cos(theta)
=/【||a||*||b||】在正交变换下是不变的。
反之，考虑伸长变换即可。
比如σa=2a，保持夹角不变，但不是正交变换。
<σa，σb>==，即正交变换保持内积不变，因此
||a||^2=<σa，σa>=。长度不变。于是a与b的夹角cos(theta)
=/【||a||*||b||】在正交变换下是不变的。
反之，考虑伸长变换即可。
比如σa=2a，保持夹角不变，但不是正交变换。
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