分别用定长为L的线段围成矩形和圆，哪种图形的面积大？为什么

分别用定长为L的线段围成矩形和圆，哪种图形的面积大？为什么

圆形的面积大，论证如下：


　　证明：
　　令矩形的长为a，宽为b，则矩形的面积为ab
　　因为2（a+b）=L，所以a+b=L/2，
　　因为L是定值，所以a+b=L/2是定值
　　因当a+b为定值时，ab≤（a²+b²）/2，即2ab≤a²+b²
　　又因为a²+b²=（a+b)²-2ab
　　所以2ab≤（a+b)²-2ab，4ab≤（a+b)²=（L/2）²=L²/4
　　所以ab≤L²/16，（当且仅当a=b时取等号）
　　即矩形的面积最大是L²/16


　　再令圆形的半径为r，则2πr=L，r=L/（2π）
　　所以圆形的面积=πr²=π×[L/（2π）]²=L²/（4π）


　　因为L²/16＜L²/（4π），也就是说最大矩形的面积也小于圆形的面积
　　所以
　　分别用定长为L的线段围成矩形和圆，圆形的面积大。

拓展：

　　正N边形的周长一定时，边数越多，面积越大。
　　其实，可以把圆形看作正无限边形，所以周长一定时，圆形的面积最大。

矩形面积最大是正方形,边长是 L/4 所以面积是 (L/4)^2=L^2/16 圆周长是L,则其面积是 L^2/(4*PAI) PAI是圆周率 很明显 16>4*PAI 所以,圆的面积大

圆的面积大。

因为，
圆的面积
= πr^2
= π (L/2π)^2
= L^2 / (4π)

矩形的面积
≤ (L/4)^2
= L^2 / 16

L^2 / (4π) > L^2 / 16