初一数学性质定理

初一数学性质定理

直角三角形

性质

判定

1
、

直角三角形的两个锐角互余

2
、

在直角三角形中，
如果一个锐
角等于
30
°，
那么它所对的直
角边等于斜边的一半

3
、

直角三角形斜边的中线等于
斜边的一半

4
、

直角三角形两直角边
a
，
b
的
平方和等于斜边
c
的平方，即
（勾股定理）

1
、

如果三角形的三边长
a
，
b
，
c
有关
系
，
那么这个三角形是
直角三角形（勾股定理的逆定理）

2
、

如果三角形一边的中线等于这边的
一半，那么这个三角形是直角三角
形

四边形

定理：四边形的内角和等于
360
°，四边形的外角和等于
360
°

多边形内角和定理：
n
边形的内角和等于（
n-2
）
180
°

推论：任意多边形的外角和等于
360
°

平行四边形

性质

判定

性质定理
1
：平行四边形的对角相等

性质定理
2
：平行四边形的对边相等

推论：
夹在两条平行线间的平行线段
相等

性质定理
3
：平行四边形的对角线互
相平分

判定定理
1
：两组对角分别相等的四
边形是平行四边形

判定定理
2
：两组对边分别相等的四
边形是平行四边形

判定定理
3
：对角线互相平分的四边
形是平行四边形

判定定理
4
：一组对边平行且相等的
四边形是平行四边形

矩形

性质

判定

性质定理
1
：矩形的四个角都是直角

性质定理
2
：矩形的对角线相等

判定定理
1
：有三个角是直角的四边
形是矩形

判定定理
2
：对角线相等的平行四边
形是矩形

菱形

性质

判定

性质定理
1
：菱形的四条边都相等

性质定理
2
：
菱形的对角线互相垂直，
并且每一条对角线平分一组对角

菱形面积
=
对角线乘积的一半，即
（
a
，
b
为菱形的两条对角线）

判定定理
1
：四边都相等的四边形是
菱形

判定定理
2
：对角线互相垂直的平行
四边形是菱形

正方形

性质

判定

性质定理
1
：正方形的四个角都是直
角，四条边都相等

性质定理
2
：正方形的对角线相等并
且互相垂直平分，
每条对角线平分一
组对角

既是矩形又是菱形的四边形是正方
形

等腰梯形

性质

判定

性质定理：
等腰梯形在同一底上的两
个角相等

等腰梯形的两条对角线相等

判定定理：
在同一底上的两个角相等
的梯形是等腰梯形

对角线相等的梯形是等腰梯形

相似三角形

性质

判定

定理：

1
、

相似三角形周长的比等于相似比

2
、

相似多边形周长的比等于相似比

3
、

相似三角形面积的比等于相似比
的平方

4
、

相似多边形面积的比等于相似比
的平方

定理：
平行于三角形一边的直线和其
它两边相交，
所构成的三角形与原三
角形相似

1
、

如果两个三角形三组对应边的比
相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：三边对应成比例，两
三角形相似

2
、

如果两个三角形两组对应边的比
相等，并且对应的夹角相等，那
么这两个三角形相似。
简单说成：
两边对应成比例且夹角相等，两
三角形相似

3
、

如果一个三角形的两个角与另一
个三角形的两个角对应相等，那
么这两个三角形相似。
简单说成：
两角对应相等的两个三角形相似

位似图形

1
、

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比

2
、

对应线段的比等于相似比

3
、

周长比等于相似比

4
、

面积比等于相似比的平方

中位线

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半，
，
s=lh
（
l
为中位线，
h
为高，
s
为梯形面积，
a
，
b
为梯形的上下底）

圆

1
、

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

推论：平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，并且平分这条弦所对的
两条弧

2
、

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量
相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等

3
、

定理：不在同一直线上的三点确定一个圆

4
、

定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对应的圆周角相等，都等于这条弧
所对应的圆周角的一半

推论：①同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

②半圆
（或直径）所对的圆周角是直角；
90
°的圆周角所对的弧是直径

5
、

圆的切线

①

判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

②

性质：圆的切线垂直于经过切点的半径

6
、

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点

1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180° 18 推论 1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理 (sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理 ( asa) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论 (aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理 (sss) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理 (hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 ( 即等边对等角） 31 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论 3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60° 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° 那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44 定理 3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45 逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46 勾股定理 直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和、等于斜边 c 的平方，即 a^2+b^2=c^2 47 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a 、 b 、 c 有关系 a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形 48 定理 四边形的内角和等于 360° 49 四边形的外角和等于 360° 50 多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于（ n-2 ） ×180° 51 推论 任意多边的外角和等于 360° 52 平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等 53 平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等 54 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55 平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分 56 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角 61 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等 62 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形 63 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形 64 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等 65 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66 菱形面积 = 对角线乘积的一半，即 s= （ a×b ） ÷2 67 菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形 68 菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69 正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 70 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 71 定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的 72 定理 2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 73 逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称 74 等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75 等腰梯形的两条对角线相等 76 等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77 对角线相等的梯形是等腰梯形 78 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 80 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 l= （ a+b ） ÷2 s=l×h 83 (1) 比例的基本性质 如果 a:b=c:d, 那么 ad=bc, 如果 ad=bc, 那么 a:b=c:d 84 (2) 合比性质 如果 a ／ b=c ／ d, 那么 (a±b) ／ b=(c±d) ／ d 85 (3) 等比性质 如果 a ／ b=c ／ d=…=m ／ n(b+d+…+n≠0), 那么 (a+c+…+m) ／ (b+d+…+n)=a ／ b 86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 91 相似三角形判定定理 1 两角对应相等，两三角形相似（ asa ） 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（ sas ） 94 判定定理 3 三边对应成比例，两三角形相似（ sss ） 95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 96 性质定理 1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 97 性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 101 圆是定点的距离等于定长的点的集合 102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104 同圆或等圆的半径相等 105 到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆 106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线 107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线 108 到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 109 定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。 110 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧