若a,b是正实数，且a+b=1,求证（1+1/a）（1+1/b）大于等于9

若a,b是正实数，且a+b=1,求证（1+1/a）（1+1/b）大于等于9

给出详细的证明。

化简下（1+1/a）（1+1/b）=1+1/a+1/b+1/ab=1+(a+b+1)/ab=1+2/ab

我们知道a+b=1

(a+b)^2=1=a^2+b^2+2ab=1

我们知道a^2+b^2>=2ab(因为(a-b)^2>=0 a^2+b^2-2ab>=0)

所以4ab>=1 1/ab<=1/4

所以就可以知道（1+1/a）（1+1/b）大于等于9

公式 √ab≤(a+b)/2

即 ab≤[(a+b)/2]^2=1/4

（1+1/a）（1+1/b）-9

=(a+1)(b+1)/ab-9

=2/ab-8≥0

即（1+1/a）（1+1/b）≥9

要证明(1+1/a）（1+1/b）≥9

即要证明：1+1/a+1/b+1/ab≥9 即1/a+1/b+1/ab≥8

通分得到：(a+b+1)/ab≥8 把a+b=1代入得到：要证明 ab≤1/4

根据均值定理：a+b≥2根号下ab ∴ab≤1/4 得证