已知f(x)在x=0处可导,且f(0)=0,则x趋近0时 lim(x^2f(x)-f(2x^3))/x^3=?
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解决时间 2021-12-25 01:27
- 提问者网友：凉末
- 2021-12-24 20:50
已知f(x)在x=0处可导,且f(0)=0,则x趋近0时 lim(x^2f(x)-f(2x^3))/x^3=?
最佳答案
- 五星知识达人网友：十年萤火照君眠
- 2021-12-24 22:30
x趋近0时 lim(x^2f(x)-f(2x^3))/x^3
=lim(x->0)f(x)/x-lim(x->0)f(2x^3)/x^3
=lim(x->0)[f(x)-f(0)]/x-lim(x->0)[f(2x^3)-f(0)]/x^3
=f'(0)-2 lim(x->0)[f(2x^3)-f(0)]/2x^3
=f'(0)-2f'(0)
=-f'(0)
=lim(x->0)f(x)/x-lim(x->0)f(2x^3)/x^3
=lim(x->0)[f(x)-f(0)]/x-lim(x->0)[f(2x^3)-f(0)]/x^3
=f'(0)-2 lim(x->0)[f(2x^3)-f(0)]/2x^3
=f'(0)-2f'(0)
=-f'(0)
全部回答
- 1楼网友：神鬼未生
- 2021-12-24 22:41
两边同乘以e^(-2x)，得
e^(-2x)f'(x)=e^(-2x)*2f(x)
e^(-2x)(f'(x)-2f(x))=0
两边积分得
e^(-2x)f(x)=c
f(x)=c*e^(2x)
因为f(0)=1，解得c=1
所以
f(x)=e^2x
顺便说下，1楼说法完错
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