高一数学解不等式值域误差问题，求高手解答，真心迷惑

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解决时间 2021-02-24 03:54

提问者网友：玫瑰园
2021-02-23 21:20

先建立一个情景
已知 1<=a-b<=2 条件1
2<=a+b<=4 条件2
求4a-2b的值域

有这么一种解法
步骤一由条件1+条件2 求得 4a的值域
步骤二条件2变形成 -2<＝b-a<=-1 （条件3）
由条件3+条件1 求得 b的值域
之后得到 -b 值域
步骤三由步骤一步骤二所得相加
求得 4a-2b 值域

最后解得这个值域是 [3,12]

但是老师说这种方法有误差，不精准什么的
说要用换元法做（就是设a+b=艾尔法 a-b=贝塔）
之后求得的值域就在之前的值域里面

下面是我的问题
为什么值域会出现误差？（偏大）
别用什么抽象的概念解释，我就听老师的解释根本不明白
所以我要个直观一点的
比如直接用数字的例子等等实际一点的例子说

我就是不明白
我一步步按照步骤解题
并没有不合理的步骤
为什么最后的值域还是偏大

老师解释不明白，
谁来帮帮我解释下

最佳答案

五星知识达人网友：渊鱼
2021-02-23 22:03

LZ我高中时也同样有过这样的疑惑。按照这样做貌似每步都合情合理，但求出来的结果往往不精确，就是说所求出的值域范围大了。我简单说一下吧，题目所给出的a和b，不是孤立给出的，他们是互相关联的(认真考虑这句话)，所给出的取值范围是a-b也a+b的范围。互相关联也就是互相牵制，就意味着当其中一个取得最大或最小值的时候，在必须满足已知条件限制的前提下另一个往往是取不了最值的。而楼主则是选择将其中一个抵消掉，分别分离出来孤立对待,理想化地同时取了两个的最大(小)值来求得值域了，就是问题所在。根据你老是介绍的方法我相信你也做得出来，我就不再做出答案了。

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1楼网友：刀戟声无边
2021-02-24 01:26

凡是有关式子的值域问题都不能随便的加减的，如果是一个数就可以，比如2<a<6,1<b<5的话，就可以了，但是a+b和a-b又和集合的交集那些又是不同的其实这些问题你可以代入几个数去验证就行了如果按你那样做的话， 4a-2b 的值域是 [3,12] 但是如果我a=2,b=3,你的条件就不成立了所以不等式式子的混算是不行的步骤一由条件1+条件2 求得 4a的值域你怎么有4a呢，你把它乘2了》？？？？

2楼网友：毛毛
2021-02-24 00:05

你好！凡是有关式子的值域问题都不能随便的加减的，如果是一个数就可以，比如2

3楼网友：行雁书
2021-02-23 23:23

原因在于条件一和条件二的等号有可能不能同时取到，因此直接加会导致结果偏大。比如：当a=3，b=1时，a-b=2，a+b=4,此时一二式右边等号成立，但左边等号不成立，所以直接加会导致范围变大。其实有很多时候两个不等式的等号是不能同时取到的，要注意。具体解法我想你老师讲过了，就不说了。

4楼网友：长青诗
2021-02-23 22:56

问提出在你单独的计算了A,B..有的时候假设在A的取值范围内的一个数P.但按你方法通过A所对应的B是取不到数的..所以P这个数就不应该在A的取值范围里面....

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