关于高中数学对数问题

关于高中数学对数问题

1 定义编辑本段
　　1.如果 a^x=N（a>0,且a≠1）,那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm）,记作 x=logN .其中,a叫做对数的底数,N叫做真数.且a>o,a≠1,N>0
　　2.特别地,我们称以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm）,并把log10N 记为 lgN.
　　3.称以无理数e（e=2.71828...）为底的对数称为自然对数（natural logarithm）,并把logeN 记为 lnN.
　　零没有对数.
　　在实数范围内,负数无对数.在复数范围内,负数有对数.如：
　　㏑(-5)=㏑[(-1)*5]=㏑(-1)+㏑5=iπ+㏑5.
　　而事实上,当θ=(2k+1)π时(k∈Z）,e^[(2k+1)πi]+1=0,这样,㏑(-1)的具有周期性的多个值,㏑(-1)=(2k+1)πi.这样,任意一个负数的自然对数都具有周期性的多个值.例如：㏑(-5)=(2k+1)πi+㏑5.
　　loga1=0,logaa=1　
2 基本性质编辑本段
　　如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么：
　　1、a^log(a) N=N （对数恒等式）
　　证：设log(a) N=t,（t∈R） 　
　　则有a^t=N　
　　a^(log(a)N)=a^t=N.
　　即证.[2]
　　2、log(a) a=1
　　证：因为a^b=a^b
　　令t=a^b
　　所以a^b=t,b=log(a)(t)=log(a)(a^b)
　　令b=1,则1=log(a)a
　　3、log(a) (M·N）=log(a) M+log(a) N
　　公式54、log(a) (M÷N)=log(a) M-log(a) N
　　5、log(a) M^n=nlog(a) M
　　6、log(a)b*log(b)a=1
　　7、log(a) b=log (c) b÷log (c) a （换底公式）
　　基本性质5推广
　　log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
　　推导如下：
　　由换底公式
　　log(a^n)(b^m)=ln(b^m）÷ln(a^n)
　　换底公式的推导：
　　设e^x=b^m,e^y=a^n
　　则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x÷y
　　x=ln(b^m),y=ln(a^n)
　　得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m）÷ln(a^n)
　　由基本性质5
　　log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n）×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
　　再由换底公式可得
　　log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]