在半径为r的半圆内作一内接梯形,使其下底为直径,其它三边为圆的弦,求梯形面积最大时,梯形的上底长为多少?

在半径为r的半圆内作一内接梯形,使其下底为直径,其它三边为圆的弦,求梯形面积最大时,梯形的上底长为多少?

连接上底的一个顶点到圆心
设这个线和直径的夹角x
则有高h =sinx *r
上底＝2cos x *r
面积S＝( 2rcosx +2r)*sinx *r /2
=(r+rcosx)*sinx *r
=r^2 (1+cosx)sinx
x 在60度是最大。形成的三角形为三个等边三角形
上底长为r

图

设梯形的上底长为2x，高为h，面积为s， ∵h= r2?x2 ，∴s＝(r+x)?   r2?x2 ，s/＝ (r?2x)(r+x) r2?x2 令s′=0，得x= r 2 （x=-r舍），则h= 3 2 r． 当x∈（0， r 2 ）时，s′＞0；当 r 2 ＜x＜r时，s′＜0． ∴当x= r 2 时，s取极大值．∴当梯形的上底长为r时，它的面积最大． 故答案为：r