设函数fx=e的x次方-1-x-ax 若当x≥0,f(x)≥0,求a 的取值范围

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解决时间 2021-03-29 10:53

提问者网友：斑駁影
2021-03-28 12:50

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五星知识达人网友：酒安江南
2021-02-21 23:28

解：f(x)=e^x-1-x-ax
f'(x)=e^x-(a+1)
若a+1≤0，也即a≤-1，则f'(x)>0，f(x)严格单增，故只需f(0)≥0，1-1-(a+1)*0≥0，得0≥0恒成立。故a≤-1时满足题意。
若a+1>0，也即a>-1，则方程f'(x)=e^x-(a+1)=0有实数解x=ln(a+1)。
此时f''(x)=e^x=e^[ln(a+1)]=a+1>0，故f[ln(a+1)]为f(x)在区间[0,+∞)上的极小值。因此只需f[ln(a+1)]≥0，也即e^[ln(a+1)]-1-(a+1)ln(a+1)=a+1-1-(a+1)ln(a+1)=a-(a+1)ln(a+1)≥0
也即ln(a+1)-a/(a+1)≤0
考虑函数g(a)=ln(a+1)-a/(a+1)，a>-1，显然g(0)=0,g'(a)=1/(a+1)-1/(a+1)^2=a/(a+1)^2。
若a>0，则g'(a)>0，当a>0时有g(a)>g(0)=0，与g(a)≤0矛盾。
当-1<a≤0时，则f(0)=0，f'(x)=e^x-(a+1)≥e^0-(a+1)=-a≥0，故当x≥0,f(x)≥0恒成立。
于是，当且仅当a≤0时，对x≥0，均有f(x)≥0成立。
也即a的取值范围是：a≤0

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1楼网友：怀裏藏嬌
2020-10-16 10:37

解：f(x)=e^x-1-x-ax f'(x)=e^x-(a+1) 若a+1≤0，也即a≤-1，则f'(x)>0，f(x)严格单增，故只需f(0)≥0，1-1-(a+1)*0≥0，得0≥0恒成立。故a≤-1时满足题意。若a+1>0，也即a>-1，则方程f'(x)=e^x-(a+1)=0有实数解x=ln(a+1)。此时f''(x)=e^x=e^[ln(a+1)]=a+1>0，故f[ln(a+1)]为f(x)在区间[0,+∞)上的极小值。因此只需f[ln(a+1)]≥0，也即e^[ln(a+1)]-1-(a+1)ln(a+1)=a+1-1-(a+1)ln(a+1)=a-(a+1)ln(a+1)≥0 也即ln(a+1)-a/(a+1)≤0 考虑函数g(a)=ln(a+1)-a/(a+1)，a>-1，显然g(0)=0,g'(a)=1/(a+1)-1/(a+1)^2=a/(a+1)^2。若a>0，则g'(a)>0，当a>0时有g(a)>g(0)=0，与g(a)≤0矛盾。当-1

2楼网友：忘川信使
2020-12-28 02:54

f(x)=e^x-1-x-ax = e^x - (1+x+ax) 当x=0, e^x=1, f(x)=0 设 y1=e^x, y2=ax+x+1=(a+1)x+1 f(x) = y1 - y2 >= 0 即 y1 >= y2 当 x=0, y1 = 1, y2 = 1, y1 的切线斜率为 e^0 = 1, 如果 y2 的直线斜率大于1, 则 y1 和 y2 在 x=b > 0 的地方必有另一个交点, 而在 x = (0, b) 之间，y1 < y2. 所以 y2 的直线斜率 = (a+1) <= 1，a <= 0

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