SOS!已知三角形ABC,分别以AB,AC,BC为边作正三角形ABD,正三角形BCE,正三角形ACF.且角ACB=60度

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已知三角形ABC,分别以AB,AC,BC为边作正三角形ABD,正三角形BCE,正三角形ACF.且角ACB=60度.求证:S三角形ABD+S三角形ABC=S三角形BCE+S三角形ACF.

作AG垂直于BC,交BC于G,设AB=a,BC=b,CA=c,
根据海伦公式S=根号下(P(P-a)(P-b)(P-c))
S三角形BCE+S三角形ACF=((根号3)/4)*b^2+((根号3)/4)*c^2
=((根号3)/4)*(b^2+c^2)
三角形ABC中,角ACB=60度,AG=SIN(60度)*c=((根号3)/2)*c,GC=COS(60度)*c=c/2,BG=b-c/2,又根据钩股定理:
AB^2=BG^2+AG^2,所以:a^2=(b-c/2)^2+(((根号3)/2)*c)^2
S三角形ABD+S三角形ABC=((根号3)/4)*a^2+(1/2)*b*((根号3)/2)*c
=((根号3)/4)*((b-c/2)^2+(((根号3)/2)*c)^2+bc)
=((根号3)/4)*(b^2+c^2)
所以:S三角形ABD+S三角形ABC=S三角形BCE+S三角形ACF.