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实数a,b,c满足a^2+b^2+c^2=4,则(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2的最大值是多少？

(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
=2(a^2+b^2+c^2)-(2ab+2bc+2ca)
=2(a^2+b^2+c^2)-[(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)]
=3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2
=12-(a+b+c)^2
要使上式取得最大值，就要使(a+b+c)^2最小，因为(a+b+c)^2≥0，最小为0，所以
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
≤12

最大值是16.(a-b)方+(b-c)方+(c-a)方=2a方+2b方+2c方-2ab-2ac-2bc。因为，a方+b方大于等于—2ab,同理，2a方+2b方+2c方大于等于—2ab—2bc—2ac，所以，原式小于等于4（a方+b方+c方）=16,故，原式有最大值是16

(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 3(a^2+b^2+c^2) - (a+b+c)^2 =12 - (a+b+c)^2 <=12

当a+b+c=0时等号成立

如a=1，b=（-1 - √5）/2，c=（√5 - 1）/2

解：

∵(a-b)²+(b-C)²+(c-a)²=2·(a²+b²+c²)-(2ab+2bc+2ca)=3·(a²+b²+c²)-(a+b+c)²≤3×4=12

当且仅当a+b+c=0且a²+b²+c²=4时取等号

∴(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²的最大值是12