点A(0,2)是圆 (x的平方)+(y的平方)=16内的定点,点B.C是这个圆上的两个动点.若BA垂直于CA.求BC中点M的轨迹方程. 并说明它的轨迹是什么曲线

点A(0,2)是圆 (x的平方)+(y的平方)=16内的定点,点B.C是这个圆上的两个动点.若BA垂直于CA.求BC中点M的轨迹方程. 并说明它的轨迹是什么曲线

设点B(x1,y1)，点C(x2,y2)。设BC的中点M为(x,y)。

则有x1+x2=2x,y1+y2=2y。

而BA垂直于CA故，直线BA于CA的斜率相乘为-1,即[(y1-2)/(x1-0)]*[(y2-2)/(x2-0)]=-1

即：y1y2-2(y1+y2)+4+x1x2=0。可得:y1y2+x1x2=2*2y=4y。-----式(1)

而点B，点C在圆x^2+y^2=16上，故有x1^2+y1^2=16,-------式(2)

x2^2+y2^2=16,-------式(3)

则联立上面三个式子:2*式(1)+式(2)+式(3)可得:

(x1^2+2x1x2+x2^2)+(y1^2+2y1y2+y2^2)=32+4y。即：(x1+x2)^2+(y1+y2)^2=32+4y。

可得:4x^2+4y^2=32+4y。

即x^2+(y-1/2)^2=33/4。这就是BC中点M的轨迹方程。可见M的轨迹方程是以(0,-1/2)为圆心，半径(33/4)^2的一个圆。