若函数f(x)=1/2x²-x²+a的定义域和值域均为[1,b](b＞1),求a、b的值。

若函数f(x)=1/2x²-x²+a的定义域和值域均为[1,b](b＞1),求a、b的值。

解：
f（x）=1/2x^2-x+a

=1/2（x-1）^2-1/2+a

所以定义域在〔1，+∞）是单调递增的

故x=1时，[1,b]区间上，f（x）min=f（1）=a-1/2=1，得a=3/2
当x=b时，[1,b]区间上，f（x）max=f（b）=1/2b^2-b+3/2=b
得b=3或b=1，因为b>1
所以b=3
所以a=3/2，b=3

函数中x²的系数1/2 > 0 ，所以函数开口向上    f(x)=（1/2)x²-x+a    对称轴  x= -b/2a = -(-1) / 2×(1/2) = 1    对称轴与函数的交点就是函数图像的最低点，也是x和f(x)的最小值   ∵定义域和值域均为[1，b]  且对称轴右边为单调递增区间     ∴f(1)=1   f(b)=b   ∴f(1)=1/2  - 1+a=1    a=3/2     f(b)=(1/2)b² - b + 3/2 =b    b²-4b+3=0    (b-1)(b-3)=0     b=1    b=3    ∵b > 1    ∴ 舍去b=1    ∴a=3/2    b=3