0<an<1,且an+1(1-an)>=1/4,n属于N 求 liman
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解决时间 2021-04-05 03:40
- 提问者网友：做自己de王妃
- 2021-04-04 08:43
0<an<1,且an+1(1-an)>=1/4,n属于N 求 liman
最佳答案
- 五星知识达人网友：轻雾山林
- 2021-04-04 10:04
单调有界原理。
注意到对任意的x属于(0,1)，必有x(1-x)<=1/4。
因此有a(n+1)(1-an)>=1/4>=an(1-an)，故a(n+1)>=an，
于是an是递增有上界1的数列，极限存在。
设lim an=a，0a(1-a)>=1/4。这个不等式还是只能等号成立，因此解得
a=1/2。
注意到对任意的x属于(0,1)，必有x(1-x)<=1/4。
因此有a(n+1)(1-an)>=1/4>=an(1-an)，故a(n+1)>=an，
于是an是递增有上界1的数列，极限存在。
设lim an=a，0a(1-a)>=1/4。这个不等式还是只能等号成立，因此解得
a=1/2。
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- 1楼网友：第四晚心情
- 2021-04-04 11:02
令A=liman
lim[a(n+1)*(1-an)]>=1/4
A*(1-A)>=1/4
A^2-A+1/4<=0
(A-1/2)^2<=0
因为(A-1/2)^2恒>=0
所以A-1/2=0
A=1/2
liman=1/2
lim[a(n+1)*(1-an)]>=1/4
A*(1-A)>=1/4
A^2-A+1/4<=0
(A-1/2)^2<=0
因为(A-1/2)^2恒>=0
所以A-1/2=0
A=1/2
liman=1/2
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