已知二次函数f（x）=ax2+bx满足条件：①对任意x∈R，均有f（x-4）=f（2-x）②函数f（x）的图象与y=x相切

已知二次函数f（x）=ax2+bx满足条件：①对任意x∈R，均有f（x-4）=f（2-x）②函数f（x）的图象与y=x相切．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=2f（x）-18x+q+3，若存在常数t （t≥0），当x∈[t，10]时，g（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t，请求出t的值．（注：[a，b]的区间长度为b-a）

（1）∵二次函数f（x）=ax2+bx满足条件①对任意x∈R，均有f（x-4）=f（2-x），
∴a（x-4）2+b（x-4）=a（2-x）2+b（2-x），
∴（2x-6）（-2a+b）=0，
∴b=2a  
又函数f（x）的图象与y=x相切，
∴方程ax2+bx=x有且只有一个解，且b=2a，
∴ax2+（2a-1）x=0的两根相等，
∴△=（2a-1）2-4a×0=0，即（2a-1）2=0，
a=
1
2 ，b=1，
∴f（x）=
1
2 x2+x；
（2）由（1）知，f（x）=
1
2 x2+x，且g（x）=2f（x）-18x+q+3，
∴g（x）=x2-16x+q+3，
∴g（x）图象的对称轴为x=8，
又∵x∈[t，10]，且t≥0，
∴g（x）在区间[0，8]上是减函数，在区间[8，10]上是增函数，
①当0≤t≤6时，g（x）在区间[t，8]上单调递减，在[8，10]上单调递增，
∴当x=t时，g（x）取得最大值g（t），
当x=8时，g（x）取得最小值g（8），
∵g（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t，
∴g（t）-g（8）=12-t，即t2-15t+52=0，
∴t=
15±



17
2 ，
又t＞0时，
∴t=
15+



17
2 ；
②当6＜t≤8时，g（x）在区间[t，8]上单调递减，在[8，10]上单调递增，
∴当x=10时，g（x）取得最大值g（10），
当x=8时，g（x）取得最小值g（8），
∵g（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t，
∴g（10）-g（8）=12-t，即4=12-t，
∴t=8；
③当8＜t＜10时，g（x）在区间[t，10]上单调递增，
∴当x=10时，g（x）取得最大值g（10），
当x=t时，g（x）取得最小值g（t），
∵g（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t，
∴g（10）-g（t）=12-t，即t2-17t+72=0，
∴t=8或t=9，
又∵8＜t＜10，
∴t=9．
综合①②③可得，存在常数t=
15+



17
2 或t=8或t=9，使得当x∈[t，10]时，g（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t．

已知二次函数f(x)=ax2+bx满足条件①对任意x∈r,均有f(x-4)=f(2-x)②函数f(x)的图像与y=x相切 f（x）的解析式 由对任意x∈r,均有f(x-4)=f(2-x)可知f(x)关于x=3对称, 因此f(x)=ax2+bx对称轴x=-b/(2a)=3，有b=-6a 由函数f(x)的图像与y=x相切得ax2+bx=x有两相等实根， 即化为x[ax+(b-1)]=0,x=-(b-1)/a=0,则b=1 所以a=-1/6,b=1,则f(x)=-1/6*x2+x