求证：函数f（x）=x+2在R上是增函数

求证：函数f（x）=x+2在R上是增函数

证明：
任取实数x1，x2，∈R，且x1＜x2，

则f（x1）-f（x2）=x1+2-（x2+2）=x1-x2，
∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）=-2x+1在R上是增函数．

本题考查函数单调性的证明，属基础题，证明函数的单调性必须严格论证，常用方法有：定义法、导数法。函数的单调性(monotonicity)也叫函数的增减性。当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大(或减小)时，函数值f(x)也随着增大(或减小)，则称该函数为在该区间上具有单调性。

证明：任取实数x₁，x₂，∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁+2-（x₂+2）=x₁-x₂，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）=-2x+1在R上是增函数．