一道数列题 设0<a1<1/2,a(n+1)=f(an),n∈N*,证明an<1/(n+1)
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解决时间 2021-03-06 09:08
- 提问者网友：谁的错
- 2021-03-06 03:17
一道数列题 设0<a1<1/2,a(n+1)=f(an),n∈N*,证明an<1/(n+1)
最佳答案
- 五星知识达人网友：风格不统一
- 2021-03-06 04:23
f(x)=x-3/2*x^2=-3/2(x^2-2/3x)=-3/2(x-1/3)^2+1/6<=1/6且f(x)在(0,1/3]上是增函数，下面用归纳法证明，
当n=1时，0假设当n=k时，0a(k+1)=f(ak)=ak-3/2*ak^2=-3/2(ak^2-2/3ak)=-3/2(ak-1/3)^2+1/6<=1/6，
由于f(x)在(0,1/3]上是增函数，则当0a(k+1)>f(0)=0,ak=0时，
a(k+1)
(2k-1)/[2(k+1)^2]-1/(k+2)=[(2k-1)(k+2)-2(k+1)^2]/[2(k+1)^2(k+2)]=(-k-4)/[2(k+1)^2(k+2)]<0,
故a(k+1)
当n=1时，0假设当n=k时，0a(k+1)=f(ak)=ak-3/2*ak^2=-3/2(ak^2-2/3ak)=-3/2(ak-1/3)^2+1/6<=1/6，
由于f(x)在(0,1/3]上是增函数，则当0a(k+1)>f(0)=0,ak=0时，
a(k+1)
(2k-1)/[2(k+1)^2]-1/(k+2)=[(2k-1)(k+2)-2(k+1)^2]/[2(k+1)^2(k+2)]=(-k-4)/[2(k+1)^2(k+2)]<0,
故a(k+1)
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