设函数f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫(0.x)uf(u)du-x∫(0.x)f(u)du,求f(x)

设函数f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫(0.x)uf(u)du-x∫(0.x)f(u)du,求f(x)

f'(x) =e^x + xf(x) -(∫(0.x)f(u)du - xf(x)) = e^x-∫(0.x)f(u)du
有 f''(x) = e^x -f(x)
有 f''(x)+f(x) =e^x
解这个微分方程得通解
f(x)=C1cosx + C2 sinx + e^x/2
注意到 f(0)=1,f'(0)=1
得 C1+1/2 =1
C2+1/2 =1
得 C1=C2=1/2
所以f(x) =(cosx +sinx +e^x)/2

2x,x分别是积分的上限和下限吗？如果是可以这样求导： 设f(x)=∫(2x,x)uf(u)du ,对x求导有 f'(x)=[2xf(2x)]*(2x)'-xf(x)*(x)' =[2xf(2x)]*2 - xf(x) =4xf(2x)-xf(x) 因为微分与积分为互逆的运算，所以根据复合函数求导法有这样的求导公式： [∫(β(x),α(x))f(u)du]' =f(β(x))*β'(x)-f(α(x))*α'(x) 其中β'(x),α'(x)分别表示β(x)，α(x)对x求导