怎么求异面直线所成的角，直线与平面所成的角，还有二面角？

一、直线和平面所成的角，即直线与它在平面内的射影所成的角。射影，顾名思义，也就是相对于平面，在直线的正上方所投的光线在平面上留下的影子。数学上自然是从直线上选取一点，向平面引垂线，垂足和斜足的连线就是射影了。所以，求直线与平面所成的角一般是来解直角三角形。在具体的题目中，这条垂线甚至无须作，因为有现成的了。所以在处理此类问题中，我们常说的一句话是欲求先作或先找，这和求异面直线所成的角的情况是一样的。有些问题则是，已知直线与平面所成的角来解决其他问题，如：
例1.在三棱锥p-abc中,pa⊥ac,pb⊥bc,ac⊥bc,pa,pba与平面abc所成的角分别为30度,45度,直线pc与ab能否垂直?并证明所的结论! 
借助于平面α我们画出三棱锥p-abc。
∵pa⊥ac，pb⊥bc，ac⊥bc
∴△pac,△pbc,△abc都是直角三角形。
作pd⊥平面α，垂足为d,则∠pad即为pa与平面abc所成的角，∠pad =30度。
作pe⊥ab于e,连de,则∠ped即为面pba与平面abc所成的角，∠ped=45度。
当rt△abc为直角等腰三角形，rt△pac与rt△pbc全等时，e为ab的中点，cd⊥ab,于是有pc⊥ab. 
http://hi.baidu.com/zhyzydw740120/album/item/10bfd1dd78867b3d5882dd0d.html
二、平面和平面所成的角，即二面角，比起前面的直线与平面所成的角要复杂一些。这种复杂主要表现在找到或作出这个角，由于空间位置的不规则造成的。因为通常此类问题不是单一的一个二面角而是在一个多面体中。一般来说，1.在其中一个平面中，选取一个点（有时候这个点是现成的），向两平面的交线（棱）引垂线，找到垂足后，再在另一个平面内作棱的垂线，就作出了这个二面角的平面角；2.从一个平面内的一点，向另一个平面引垂线，找到垂足（有时候这条垂线也是现成的），从垂足向棱引垂线；3.作棱的垂直平面，与二面角的交线形成的角即为二面角的平面角。不外乎这些类型。当然了，这类题目也不仅仅是求二面角，不少情况下是已知二面角的大小再解决其他问题，这自然是要作出或找到二面角的平面角。
例1.矩形abcd中，ab=2√2, bc＝2，沿对角线bd将 向上折起，使a移至p且p在面bcd的射影o落在dc边上。 
(1)求证：o是cd的中点 (2)求二面角p－bd－c的大小 (3)求点c到面pbd的距离
（1）如图（1），作pe⊥bd,连oe,则oe⊥bd.
此时，我们再将图形恢复到原处，则如图（2），p,a必重合。（为统一我们用p代a）
在矩形pbcd中，po⊥bd于e，并与cd交于o。
pb=2√2,bc=2,则bd=2√3.
∵pd^2=de*bd,∴de=2/√3.
∵pe^2=pd^2-de^2,∴pe=2√6/3.
∵de^2=oe*pe,∴oe=√6/3.
∴od^2=oe^2+de^2=2,∴od=√2.
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因cd=2√2,所以o为cd的中点。
（2）如图（1），
∵oe⊥bd,pe⊥bd,∴∠peo即为二面角p-bd-c的平面角。在rt△pod中，po^2=pd^2-od^2=2,∴po=√2.
在△poe中，由余弦定理得：
cospeo=（pe^2+oe^2-po^2）/2pe*oe=1/2,
∴∠peo=60°.
即二面角p-bd-c=60°.
（3）如图（1），po=√2,即p到平面bcd的距离为√2.由对称性，c到平面pbd的距离也是√2. 
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例2.rt△abc中，ac=bc= ，cd⊥ab，沿cd将△abc折成60°的二面角a-cd-b，则折叠右点a到平面bcd的距离是多少？（图略）
在二面角a-cd-b中,连ab,则△adb是等腰三角形,
又ad⊥cd,bd⊥cd,所以cd⊥面adb,
所以角adb即为二面角a-cd-b的平面角,
角adb=60度,因此△adb是等边三角形.
在△adb中,作ae⊥bd,又cd⊥ae( cd⊥面adb,ae属于面adb),
所以,ae⊥面bdc,ae即为a点到面bcd的距离.
设rt△abc的边ac=bc=a,
则ad=bd=(根下2)a/2,
ae=[(根下3)/2]* [(根下2)a/2]
 =(根下6)a/4. 
例3.直角三角形abc在平面m内，角bac=90度，ab=18cm,点p在平面m外，它到平面m的距离为40cm，且pa=pb=pc. 
1）求证：平面pbc垂直平面m 
2)求二面角p-ac-b的正切值
(1)设p在平面m内的投影为d,连结pa,pb,pc,因pa=pb=pc,所以这三条平面m的斜线在平面m内的射影必定相等.即d到a,b,c三点的距离相等.因此,d必是直角三角形abc斜边bc的中点.
于是有,pd⊥平面m,而平面pbc经过pd,所以, 平面pbc⊥平面m.
(2)取ac的中点e,连de,pe.因de是直角三角形abc的中位线,所以de‖ab, de⊥ac,且de=1/2*ab=1/2*18=9 cm.
又在等腰三角形pca中,e为ac的中点,所以pe⊥ac,又de⊥ac,所以∠ped即为二面角p-ac-b的平面角.在直角三角形ped中,tanped=pd/de=40/9. 
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如果你觉得看了上面的，不是越来越湖涂，我就感到十足了。