已知函数f(x)对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)-2,,且当x>0时,f(x)>2.
(1)判断f(x)的单调性,并证明;
(2)若f(3)=5,求满足f(a2-2a-2)<3的实数a的取值范围.
已知函数f(x)对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)-2,,且当x>0时,f(x)>2.(1)判断f(x)的单调性,并证明;(2)若f(3)=5,
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解决时间 2021-12-28 23:27
- 提问者网友:嘚啵嘚啵
- 2021-12-28 10:01
最佳答案
- 五星知识达人网友:神也偏爱
- 2022-01-22 06:47
解:(1)f(x)在R上单调递增
证明:设x1<x2,x1、x2∈R,则x2-x1>0,
∵当x>0时,f(x)>2
∴f(x2-x1)>2
∵f(x+y)=f(x)+f(y)-2
∴f(x2)+f(-x1)-2>2
∴f(x2)+f(-x1)>4;
对f(x+y)+2=f(x)+f(y)取x=y=0得:f(0)=2,
再取y=-x得:f(x)+f(-x)=4,即f(-x)=4-f(x),
∴有f(x2)+4-f(x1)>4
∴f(x2)>f(x1)
∴f(x)在R上递增,
(2)解:f(3)=f(2)+f(1)-2=f(1)+f(1)-2+f(1)-2=3f(1)-4=5
∴f(1)=3;
于是,不等式f(a2-2a-2)<3等价于f(a2-2a-2)<f(1)
∵f(x)在R上递增,
∴a2-2a-2<1
∴a2-2a-3<0
∴-1<a<3.
∴满足f(a2-2a-2)<3的实数a的取值范围为(-1,3)解析分析:(1)f(x)在R上单调递增,利用单调性的定义证明.设x1<x2,x1、x2∈R,则x2-x1>0,所以f(x2-x1)>2,从而有f(x2)+f(-x1)>4,再取x=y=0得:f(0)=2,再取y=-x得:f(-x)=4-f(x),从而可得f(x2)>f(x1);(2)由f(3)=5,可得f(1)=3,于是不等式f(a2-2a-2)<3等价于f(a2-2a-2)<f(1).利用f(x)在R上递增,可得a2-2a-2<1,从而可得满足f(a2-2a-2)<3的实数a的取值范围.点评:本题考查抽象函数的性质,考查利用单调性解不等式,已知抽象函数的运算性质,常用“赋值法”.
证明:设x1<x2,x1、x2∈R,则x2-x1>0,
∵当x>0时,f(x)>2
∴f(x2-x1)>2
∵f(x+y)=f(x)+f(y)-2
∴f(x2)+f(-x1)-2>2
∴f(x2)+f(-x1)>4;
对f(x+y)+2=f(x)+f(y)取x=y=0得:f(0)=2,
再取y=-x得:f(x)+f(-x)=4,即f(-x)=4-f(x),
∴有f(x2)+4-f(x1)>4
∴f(x2)>f(x1)
∴f(x)在R上递增,
(2)解:f(3)=f(2)+f(1)-2=f(1)+f(1)-2+f(1)-2=3f(1)-4=5
∴f(1)=3;
于是,不等式f(a2-2a-2)<3等价于f(a2-2a-2)<f(1)
∵f(x)在R上递增,
∴a2-2a-2<1
∴a2-2a-3<0
∴-1<a<3.
∴满足f(a2-2a-2)<3的实数a的取值范围为(-1,3)解析分析:(1)f(x)在R上单调递增,利用单调性的定义证明.设x1<x2,x1、x2∈R,则x2-x1>0,所以f(x2-x1)>2,从而有f(x2)+f(-x1)>4,再取x=y=0得:f(0)=2,再取y=-x得:f(-x)=4-f(x),从而可得f(x2)>f(x1);(2)由f(3)=5,可得f(1)=3,于是不等式f(a2-2a-2)<3等价于f(a2-2a-2)<f(1).利用f(x)在R上递增,可得a2-2a-2<1,从而可得满足f(a2-2a-2)<3的实数a的取值范围.点评:本题考查抽象函数的性质,考查利用单调性解不等式,已知抽象函数的运算性质,常用“赋值法”.
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- 1楼网友:渊鱼
- 2022-01-22 07:13
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