求∫x^4(√(2x+3))dx的过程，难道真的要将X^4拆开？
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解决时间 2021-04-20 13:46
- 提问者网友：沦陷
- 2021-04-19 14:41
求∫x^4(√(2x+3))dx的过程，难道真的要将X^4拆开？
最佳答案
- 五星知识达人网友：未来江山和你
- 2021-04-19 15:56
你说得对，僦是展开。
令u = √(2x + 3)，u² = 2x + 3，2u du = 2 dx
∫ x⁴√(2x + 3) dx
= ∫ [(u² - 3)/2]⁴ * u * (u du)
= (1/16)∫ (u² - 3)⁴ * u² du
= (1/16)∫ [(u²)⁴ - 4(u²)³(3) + 6(u²)²(3)² - 4(u²)(3)³ + 3⁴] * u² du
= (1/16)∫ (u⁸ - 12u⁶ + 54u⁴ - 108u² + 81) * u² du
= (1/16)∫ [u¹º - 12u⁸ + 54u⁶ - 108u⁴ + 81u²) du
= (1/16)[(1/11)u¹¹ - (12/9)u⁹ + (54/7)u⁷ - (108/5)u⁵ + (81/3)u³] + C
= (1/176)u¹¹ - (1/12)u⁹ + (27/56)u⁷ - (27/20)u⁵ + (27/16)u³ + C
= (1/176)(2x + 3)^(11/2) - (1/12)(2x + 3)^(9/2) + (27/56)(2x + 3)^(7/2) - (27/20)(2x + 3)^(5/2) + (27/16)(2x + 3)^(3/2) + C
= (1/1155)(105x⁴ - 140x³ + 180x² - 216x + 216) * (2x + 3)^(3/2) + C
令u = √(2x + 3)，u² = 2x + 3，2u du = 2 dx
∫ x⁴√(2x + 3) dx
= ∫ [(u² - 3)/2]⁴ * u * (u du)
= (1/16)∫ (u² - 3)⁴ * u² du
= (1/16)∫ [(u²)⁴ - 4(u²)³(3) + 6(u²)²(3)² - 4(u²)(3)³ + 3⁴] * u² du
= (1/16)∫ (u⁸ - 12u⁶ + 54u⁴ - 108u² + 81) * u² du
= (1/16)∫ [u¹º - 12u⁸ + 54u⁶ - 108u⁴ + 81u²) du
= (1/16)[(1/11)u¹¹ - (12/9)u⁹ + (54/7)u⁷ - (108/5)u⁵ + (81/3)u³] + C
= (1/176)u¹¹ - (1/12)u⁹ + (27/56)u⁷ - (27/20)u⁵ + (27/16)u³ + C
= (1/176)(2x + 3)^(11/2) - (1/12)(2x + 3)^(9/2) + (27/56)(2x + 3)^(7/2) - (27/20)(2x + 3)^(5/2) + (27/16)(2x + 3)^(3/2) + C
= (1/1155)(105x⁴ - 140x³ + 180x² - 216x + 216) * (2x + 3)^(3/2) + C
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