设f(x)在闭区间[0,1]上连续,f(0)=f(1),证明：存在x0属于[0,1],使得f(x0)=f(x0+1/4)

设f(x)在闭区间[0,1]上连续,f(0)=f(1),证明：存在x0属于[0,1],使得f(x0)=f(x0+1/4)

证明：令f(0)=f(1)=a,f(3/4)=b,F(x)=f(x)-f(x+1/4)
分情况:
1.若a=b则
x0=3/4时f(x0)=f(3/4)=f(1)=f(x0+1/4)
显然满足
2.若aF(0)=f(0)-f(3/4)=a-b<0
F(3/4)=f(3/4)-f(1)=b-a>0
且F(x)在[0,3/4]上连续
于是在(0,3/4)必存在一点x0使得F(x0)=0
即f(x0)=f(x0+1/4)
3.若a>b则
与2同样方法
F(0)>0,F(3/4)<0
于是在(0,3/4)必存在一点x0使得F(x0)=0
f(x0)=f(x0+1/4)
综上所述,存在x0(0<=x0<=1)使f(x0)=f(x0+1/4)得证

令f(0)=f(1)=a,f(1/2)=b,f(x)=f(x)-f(x+1/2) 分情况: 1.若a=b则 x0=1/2时f(x0)=f(1/2)=f(1)=f(x0+1/2) 显然满足 2.若a&lt;b则 f(0)=f(0)-f(1/2)=a-b&lt;0 f(1/2)=f(1/2)-f(1)=b-a&gt;0 且f(x)在[0,1/2]上连续 于是在(0,1/2)必存在一点x0使得f(x0)=0 即f(x0)=f(x0+1/2) 3.若a&gt;b则 与2同样方法 f(0)&gt;0,f(1/2)&lt;0 于是在(0,1/2)必存在一点x0使得f(x0)=0 f(x0)=f(x0+1/2) 综上所述，存在x0(0&lt;=x0&lt;=1)使f(x0)=f(x0+1/2)得证