求二元函数z=2x^2+y^2+xy在闭区域D:x^2+y^2<=1上的最大值和最小值。求思路,求步骤~~数学达人请支招~
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解决时间 2021-01-18 17:09
- 提问者网友：骑士
- 2021-01-18 00:17
求二元函数z=2x^2+y^2+xy在闭区域D:x^2+y^2<=1上的最大值和最小值。求思路,求步骤~~数学达人请支招~
最佳答案
- 五星知识达人网友：老鼠爱大米
- 2021-01-18 00:42
设x=rcosa y=rsina
:x^2+y^2<=1 推出-1<=r<=1
z=2r^2cosacosa+r^2sinasina+r^2sinacosa
=r^2+r^2/2sin2a+r^2/2(1+cos2a)=√2r^2/2sin(2a+π/4)+3r^2/2=r^2/2(3+√2sin(2a+π/4))
所以当r^2=1，sin(2a+π/4)=1时，z有最大值（3+√2）/2
当r=0时，z有最小值0
:x^2+y^2<=1 推出-1<=r<=1
z=2r^2cosacosa+r^2sinasina+r^2sinacosa
=r^2+r^2/2sin2a+r^2/2(1+cos2a)=√2r^2/2sin(2a+π/4)+3r^2/2=r^2/2(3+√2sin(2a+π/4))
所以当r^2=1，sin(2a+π/4)=1时，z有最大值（3+√2）/2
当r=0时，z有最小值0
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