大学概率的问题（求平均次数，是个数学期望），求学霸请进，求学霸解答，急

游戏中，假设一件装备最大强化值+10，强化一次成功的概率为p，成功则强化值+1，失败强化值不变。那么一件装备强化值从+0到+10平均需要强化多少次（即数学期望是多少）？
如果失败强化值-1呢？
如果失败则强化值归零呢？

已不接触概率论多年，忘得光光的，下面的仅供参考，很有可能存在问题。
一、先说失败时强化值不变的情况：
假设已经有n分了，想要强化到n+1，需要的次数期望是A(n)，那么
A(n) = 1*p + (1+A(n))*(1-p)
A(n) = 1/p
所以这种情况总的期望就是A(0) +.. + A(9) = 10/p
验证代码：



二、失败扣一分
假设已经有n分了，想要强化到n+1，需要的次数期望是A(n)，那么A(n) = 1*p + (1+A(n-1)+A(n))*(1-p)

可以得到A(n) = 1/p + (1-p)/p * A(n-1)，注意A(n)表示的是从n到n+1。
从第一问可以知道A(0) = 1/p
那么从0强化到n级的次数期望E(n) = A(0) + A(1) + A(2) + ... + A(n-1)
= n/p + (1-p)/p * E(n-1)
E(1) = A(0) = 1/p
这就能得到期望E(n)的公式，接下来再求通项公式太麻烦就到这里先。



这就可以验证一下了



三，失败清零
和上面思路相似，先假设到n分需要总次数期望为S(n),
那么，A(n) = p + (1-p)(1 + A(n) + S(n-1))
得到A(n) = 1/p + (1-p)/p * S(n-1)
所以S(n) = S(n-1) + A(n) = 1/p + 1/p * S(n-1)
S(1) = 1/p

难做改时答