十个具有相当难度的八年级奥数题【关于平行线等分线段定理，其实也就是中位线】

这些题,是教我奥数的老师自己出的,很BT!!!
还有,都没有图!
PS下:不管你有没有信心,我希望你最好做一下.这个老师是我们这一带最好的哦.认真思考这些题,会对你有很大帮助!!!
Ⅰ四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD的中点，连结EF交BD、AC于M、N，若AC=BD，求证：OM=ON

Ⅱ四边形ABCD中，E、F、P、Q分别是AD、BC、BD、AC的中点，M、N分别是PB、QC的中点，求证EF平分MN。

Ⅲ四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是AD、BC的中点，BA延长线交FE延长线于点G，CD延长线交FE延长线于点H。求证：,∠BGF=∠CHF。

Ⅳ在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，延长BC到M，N是BM的中点，H是EN的中点，连结DH交BM于F。求证：CF=FM

Ⅴ△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC，E是BC中点，求证：AB=2DE

Ⅵ梯形ABCD中，AB平行DC，∠D+∠C=90°，E、F分别是AB、DC的中点，求证：EF=1／2（DC-AB）

Ⅶ已知AH是△ABC中∠BAC的角平分线，在AB、AC上分别截取BD=CE，M是DE的中点，N是BC的中点，求证：MN平行AH

Ⅷ已知在△ABC中，BM、CN分别平分∠ABC，∠ACB交AC、AB于M、N，AE⊥BE，AF⊥CF，求证：EF平行BC

Ⅸ已知，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，CM⊥BC交BD延长线于M，MF⊥AB于F。求证：BE=EF

Ⅹ△ABC中，∠1=∠2，∠3=∠4，P是DE中点，PM⊥BC于M，PR⊥AB于R，PQ⊥AC于Q，求证：PM=PQ+PR

啊，打得我好辛苦啊！！！同志们，这些题交给你们了！如果您是一名老师，那么我感谢您啦；如果你是我的同龄人，那么我佩服你啦！！！

当您试着做时是不是有很无奈的感觉?反正我是有啦!!!我做了好久,总共15道题我就作出来5道,每办法只好放到网上,看谁会做,帮帮忙!拜托大家了!!!实在不行请把这个网页发给其他人,或记录下题去问别人,谢咯.这些题是2.16号发的,老师让2.18号下午交(我打完这些题时是18号凌晨0点14分!),所以我想,除了神仙,不可能会有谁能在下午前全做完的吧??不过米事,做出来一个就是好样的!这个帖子我会留下它很多天,希望更多的人尝试这些题,提高提高自己!祝大家幸福永远!
PS:1楼的人说分太少了,于是我努力的提到70分.对不起了大家,我分太少,,,这是我的全部家当....
再PS:第十题是老师出错了..不能做.....对不起......
感谢2楼.,,,谢谢
继续PS:Ⅵ是对的
III这一题后来我自己做出来了,觉得比4楼的简单些~
连结BD,找BD中点O,,连结EO、OF。通过中位线可以得出OE平行且等于1/2AB，OF平行且等于1/2CD，所以EO=OF，通过平行加上OE=OF，可一很简单的得出角角BGF=角CHF
还有,4楼关于IX似乎有些错误（也可能是我米看懂吧）,“角OBC=角OCB，于是CO是直角三角形BCM的斜边中线”，即使OB=OC，并不一定OC=OM。
感谢4楼~终于帮我把困扰我的东西解决了！！谢谢

楼上匿名的兄弟说得很有道理，不过作为一个奥数的老兵，偶还是忍不住手痒做了一下，嘿嘿。楼主小兄弟要好好加油啊！只是想不到现在奥数还那么热啊……以下主要用到平行四边形的基本性质和角平分线定理（若AD平分角BAC，交BC于D，则AB/AC=BD/BC。证明也是用中位线的。）

I 过D作AC的平行线，过C作AD的平行线，二者相交于G，延长EF交DG于H。则ACGD是平行四边形，从而对角线AG与CD互相平分，于是A、F、G三点共线且EF是三角形ABG的中位线。这样，EF平行于BG，角DMH=角DBG，角DHM=角DGB。但是DG=AC=BD，所以三角形DBG是等腰三角形，于是角DBG=角DGB，得到角DMH=角DHM。又因为DG平行于AC，角DHM=角ONM，而角DMH与角OMN是对顶角，从而角ONM=角OMN，得到OM=ON。

II 由中位线性质可知，EPFQ是平行四边形，从而EF平分PQ。设EF交PQ于O，则ON是三角形QPC的中位线，于是ON平行于CP且ON=1/2（CP）。另外，FM是三角形BPC的中位线，于是FM平行于CP且FM=1/2（CP）。这样，FMON是平行四边形，对角线互相平分，于是FO平分MN，也即EF平分MN。

III 将三角形DEH旋转180度，使得D与A重合。设C、H、F分别变成I，J，K。则角IKE=角CFE，从而IK平行于BF。但是BF=FC=IK，于是BF与IK平行且相等，即：BFKI是平行四边形，于是BI平行于JG。于是角AIB=角AJG，角ABI=角AGJ。此时由于AI=CD=AB，角AIB=角ABI，于是角AJG=角AGJ。但是角AJG=角DHE，于是角DHE=角AGJ，也即角BGF=角CHF。

IV 由EH=HN知NF=DE=1/2（BC），于是CF=NF-NC=1/2（BC）-（BC-BN）=BN-1/2（BC）=1/2（BM）-1/2（BC）=1/2（BM-BC）=1/2（CM）。从而CF=FM=1/2（CM）。

VI 作B的角平分线，交AC于F。则AB/BC=AF/FC。此时角FBC=角C，于是BFC是等腰三角形。由于E是BC中点，FE垂直于BC，从而FE平行于AD。则AB/BC=AF/FC=DE/EC=DE/（1/2（BC））消去BC，得AB=2DE。

VI 过A分别作BC与EF的平行线，交CD于G、H。则由角D与角C互余可知，DAG是直角三角形。此时ABCG与AEFH均为平行四边形，故GC=AB，HF=AE，AH=EF。则DH=DF-HF=DF-AE=1/2（DC-AB），DG=DC-GC=DC-AB。于是AH是直角三角形DAG的中线，从而EF=AH=1/2（DG）=1/2（DC-AB）。

VII 利用III的结果，延长NM交CA于F，交BA于G。则角AFG=角DGM。但是角DGM=角FGA。于是角BAC=角FGA+角AFG=2 角AFG。从而角HAC=角AFN=1/2（角BAC），于是AH平行于FN，即MN平行于AH。

VIII 本题的叙述有误，应为“AE⊥BM，AF⊥CN”。延长AE，AF分别交BC于G、H。则GBA与HCA均为等腰三角形，BE与CF分别为顶角的角平分线，从而也为底边的中线。这时EF为三角形AGH的中位线，从而EF平行于GH，也即BC。

IX 设BD交CE于O。显然角OBC=角OCB，于是CO是直角三角形BCM的斜边中线，即BO=OM。此时由于MF平行于CE，可知OE为三角形BMF的中位线，于是BE=EF。

X 以数字标记的角的位置？

楼主关于III的解法很漂亮！至于IX，注意到角BCM是直角，于是从“角OBC=角OCB”可以推出角OCM=角OMC，这样OCB和OCM都是等腰三角形，就有BO=OM了。

看看

I 过D作AC的平行线，过C作AD的平行线，二者相交于G，延长EF交DG于H。则ACGD是平行四边形，从而对角线AG与CD互相平分，于是A、F、G三点共线且EF是三角形ABG的中位线。这样，EF平行于BG，角DMH=角DBG，角DHM=角DGB。但是DG=AC=BD，所以三角形DBG是等腰三角形，于是角DBG=角DGB，得到角DMH=角DHM。又因为DG平行于AC，角DHM=角ONM，而角DMH与角OMN是对顶角，从而角ONM=角 OMN，得到OM=ON。 II 由中位线性质可知，EPFQ是平行四边形，从而EF平分PQ。设EF交PQ于O，则ON是三角形QPC的中位线，于是ON平行于CP且ON=1/2 （CP）。另外，FM是三角形BPC的中位线，于是FM平行于CP且FM=1/2（CP）。这样，FMON是平行四边形，对角线互相平分，于是FO平分 MN，也即EF平分MN。 III 将三角形DEH旋转180度，使得D与A重合。设C、H、F分别变成I，J，K。则角IKE=角CFE，从而IK平行于BF。但是BF=FC=IK，于是 BF与IK平行且相等，即：BFKI是平行四边形，于是BI平行于JG。于是角AIB=角AJG，角ABI=角AGJ。此时由于AI=CD=AB，角 AIB=角ABI，于是角AJG=角AGJ。但是角AJG=角DHE，于是角DHE=角AGJ，也即角BGF=角CHF。 IV 由EH=HN知NF=DE=1/2（BC），于是CF=NF-NC=1/2（BC）-（BC-BN）=BN-1/2（BC）=1/2（BM）-1/2（BC）=1/2（BM-BC）=1/2（CM）。从而CF=FM=1/2（CM）。 VI 作B的角平分线，交AC于F。则AB/BC=AF/FC。此时角FBC=角C，于是BFC是等腰三角形。由于E是BC中点，FE垂直于BC，从而FE平行于AD。则AB/BC=AF/FC=DE/EC=DE/（1/2（BC））消去BC，得AB=2DE。 VI 过A分别作BC与EF的平行线，交CD于G、H。则由角D与角C互余可知，DAG是直角三角形。此时ABCG与AEFH均为平行四边形，故GC=AB， HF=AE，AH=EF。则DH=DF-HF=DF-AE=1/2（DC-AB），DG=DC-GC=DC-AB。于是AH是直角三角形DAG的中线，从而EF=AH=1/2（DG）=1/2（DC-AB）。 VII 利用III的结果，延长NM交CA于F，交BA于G。则角AFG=角DGM。但是角DGM=角FGA。于是角BAC=角FGA+角AFG=2 角AFG。从而角HAC=角AFN=1/2（角BAC），于是AH平行于FN，即MN平行于AH。 VIII 本题的叙述有误，应为“AE⊥BM，AF⊥CN”。延长AE，AF分别交BC于G、H。则GBA与HCA均为等腰三角形，BE与CF分别为顶角的角平分线，从而也为底边的中线。这时EF为三角形AGH的中位线，从而EF平行于GH，也即BC。 IX 设BD交CE于O。显然角OBC=角OCB，于是CO是直角三角形BCM的斜边中线，即BO=OM。此时由于MF平行于CE，可知OE为三角形BMF的中位线，于是BE=EF。

你好可怜啊，我现在其实也好困，但还是帮你做一道吧。我也是从你那时侯过来的，呵呵 Ⅵ是错题，随便捡一道居然是个——唉，你这不浪费我感情吗，把题目重新检查一遍！！！ Ⅸ过M作MN⊥CE于N，则MN=EF，易证BE=CD，由△MNC与△CDM全等得MN=CD，从而BE=EF Ⅹ题中都给出∠1，∠2，∠3，∠4，老师居然图都不给也太扯了吧

我好好看了下题目，确实很BT。如果我现在跟你一起熬夜做，还是有希望做出来的。另外第10题∠1，∠2都不知道在哪...汗. 我分数比较多。我很理解你的心情，我甚至可以帮你重新开一个题目，把分数加到200分。这样会吸引一些人，不过我觉得大家还是帮不上你的忙（包括我），原因如下： 1如果为了分数而来，这么难的题200分还是不够的 2如果为了锻炼智力而来，这些题又过于BT。 3如果为了帮你而来，题目至少要做几个小时。如果过了今天晚上，又不能帮你的忙了，大家为什么要熬夜帮助你呢？ 所以，我觉得楼主还是睡觉吧，如果你坚持了两天才做出5道题，那么其他人也不会太好。如果你前两天没有专心做题，那么别人帮你就不如你当初好好做。而今天晚上得到答案跟明天在老师那里得到答案又有什么区别呢？为了让老师表扬你？ 既然你5道自己做出来了，你就可以满意的对自己的能力有一个评价。相信你还是非常认真学习的。家长帮你报班也不易，唉，现在的学生确实比我们当初负担重太多了...我初中高中从没报过班，现在也照样在国内顶尖的学校里读书... 你今后成功不在于这几道题，而在于坚持的努力，在于你能够每天都有这样的不克服困难不罢休的意志，这才是最重要的。 祝好～～Best Wishes!

我塞,这么多,只给20分,不做了,太晚了...