证明:若任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在0连续,则函数f(x)在R连续,且f(x)=ax,其中a=f(1)是常数
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解决时间 2021-03-08 05:18
- 提问者网友：書生途
- 2021-03-07 21:13
证明:若任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在0连续,则函数f(x)在R连续,且f(x)=ax,其中a=f(1)是常数
最佳答案
- 五星知识达人网友：孤独的牧羊人
- 2021-03-07 22:40
显然f(0)=0.
由f(x+y)-f(x)=f(y)-f(0)以及f在0点的连续性知f在任意一点x连续。
令a=f(1)。归纳可得f(nx)=nf(x)，n为整数。
于是f(n)=an, f(1/n)=a/n，令x=1/m得f(n/m)=an/m。
从而f(x)=ax对有理数成立，由连续性知对任意x∈R成立。
由f(x+y)-f(x)=f(y)-f(0)以及f在0点的连续性知f在任意一点x连续。
令a=f(1)。归纳可得f(nx)=nf(x)，n为整数。
于是f(n)=an, f(1/n)=a/n，令x=1/m得f(n/m)=an/m。
从而f(x)=ax对有理数成立，由连续性知对任意x∈R成立。
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