高一数学，平面向量的数量积问题

已知平面向量a，b满足|a|=31/2，|b|=2,且(a-b)⊥a,则a与b的夹角为（）
A.π/6 B.π/3 C.2π/3 D.5π/6

一、基本知识：

1．向量的概念及其表示方法：

既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向。

2．向量的运算

向量运算

定义

坐标运算

运算律

加法

己知向量 、 ，在平面内任取一点 ，解 ， ，则向量 叫做 与 的和，记作 ；

求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

减法

向量 加上 的相反的向量，叫做 与 的差；求两个向量差的运算，叫做向量的减法

实数与向量的积

，其中当 与 同向， ；当 时 与 反向，

向量的数量职

二、重要定理、公式

1．平面向量基本定理：

若 、 是同一平面内的两个不共线的向量，那么，对该平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 、 ，使

2．两个向量平行的充要条件：

∥

若 ， 则

∥

3．两个非零向量垂直的充要条件：

若 ， 则

4．线段的定比分点坐标公式：

设 ， ， ，且 ，则

当 时，得中点坐标公式

5．平移公式：

若点 按向量 平移至 ，则

6．正弦定理、余弦定理：

（1）正弦定理：

（2）余弦定理：

三、学习要求和需要注意的问题

1．学习要求

（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

（2）掌握向量的加法与减法的运算法则及运算律。

（3）掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。

（4）了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量可以处理有关长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件

（6）掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟悉运用；掌握平移公式。

（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

（8）通过解三角形的应用学习，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

2．需要注意的问题

（1）这一章里，我们学习的向量具有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量。

（2）共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础。

（3）向量的数量积是一个数，当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积大于0；当两个向量的夹角是钝角时，它们的数量积小于0；当两个向量的夹角是90°时，它们的数量积等于0，零向量与任何向量的数量积等于0。

（4）通过向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直。

（5）数量积不满足结合律，这是因为 与 的结果都是数量，所以

与 都没有意义，当然就不可能相等。

因为(a-b)(a+b)=a²-b²=1-b²=1/2，所以b²=1/2

(a-b)²=a²-2ab+b²=1-1+1/2=1/2,所以(a-b)的膜=√2/2

(a+b)²=a²+2ab+b²=1+1+1/2=5/2，所以(a+b)的膜=√10/2

所以夹角的余弦值cosα=1/2÷(√2/2×√10/2)= √5/5