过双曲线 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1的一个焦点F作一条渐近线的垂线

过双曲线 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为______．

设垂足为D，
根据双曲线方程可知其中一个渐近线为y=
b
a x，焦点为F（


a 2 + b 2 ，0）
D点坐标（



a 2 + b 2
2 ，
b


a 2 + b 2
a ）
∴k DF =

b


a 2 + b 2
a -0




a 2 + b 2
2 -


a 2 + b 2 =-
b
a
∵OD⊥DF
∴k DF ?k OD =-1
∴
b
a =
a
b ，即a=b
∴e=
c
a =



a 2 + b 2
a =


2
故答案为


2

∵渐近线 ∴∠1=∠2 ∵向量fb=2向量fa ∴a是bf中点 ∵oa⊥bf ∴∠1=∠aob ∴3∠1=180° ∠1=60° 渐近线斜率=b/a=tan60°=√3 ∴e=c/a=2 如果您认可我的回答，请点击“采纳为满意答案”,祝学习进步！